Question

如图，AB是⊙O的直径，且AB=5，弦AC=4，作OD⊥AC于点D，连结BD并延长BD交⊙O于点E，连结AE、BC．
（1）求证：BC=2DO；
（2）求BD的长；
（3）求AE的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）由于OD⊥AC，根据垂径定理得AD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，于是根据三角形中位线定理即可得到BC=2DO；
（2）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠C=90°，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出BC=3，然后在Rt△CDB中根据勾股定理可计算出BD；
（3）根据圆周角定理得到∠E=90°，∠DAE=∠CBD，于是可判断Rt△ADE∽Rt△BDC，然后利用相似比可计算出AE．

解答：（1）证明：∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BC=2DO；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=5，AC=4，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
在Rt△CDB中，∵CD=

1

2

AC=2，BC=3，
∴BD=

CD2+BC2

=

13

；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
而∠DAE=∠CBD，
∴Rt△ADE∽Rt△BDC，
∴

AE

BC

=

AD

BD

，即

AE

3

=

2

13

，
∴AE=

6 13

13

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和三角形中位线定理．