Question

已知抛物线y=

1

2

（x-2）²向左平移1个单位，再向下平移

9

2

个单位．
（1）求平移后的抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴交于A，与y轴交于C，点P为抛物线上一点，PC交x轴于E，若AE=CE，求直线CP的解析式．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，根据顶点式可求新抛物线的解析式．
（2）先根据坐标轴上点的坐标特征得到C点坐标为（0，-4），点坐标为（-2，0）或（4，0），设E点坐标为（t，0），分类讨论：当A点坐标为（-2，0），利用两点间的距离公式得（t+2）²=t²+4²，解得t=3，则E点坐标为（3，0），再利用待定系数法求直线PC的解析式；当A点坐标为（4，0），同理可得E点坐标为（0，0），则直线PC为y轴，而它不属于函数图象．

解答：解：（1）∵y=

1

2

（x-2）²的顶点坐标为（2，0），
∴把抛物线向左平移1个单位，再向下平移

9

2

个单位，得新抛物线顶点坐标为（1，-

9

2

），
∵平移不改变抛物线的二次项系数，
∴平移后的抛物线的解析式是y=

1

2

（x-1）²-

9

2

，即y=

1

2

x²-x-4．

（2）解：把x=0代入y=

1

2

x²-x-4．
y=-4，则C点坐标为（0，-4），
把y=0代入，得y=

1

2

x²-x-4．
把y=0代入，得

1

2

x²-x-4=0，
解得x₁=-2，x₂=4，则A点坐标为（-2，0）或（4，0），
设E点坐标为（t，0），
当A点坐标为（-2，0），
∵AE=CE，
∴（t+2）²=t²+4²，解得t=3，
∴E点坐标为（3，0），
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把E（3，0）、C（0，-4）代入得

3k+b=0 b=-4

，解得

k= 4 3 b=-4

，
∴直线PC的解析式为y=

4

3

x-4；
当A点坐标为（4，0），
∵AE=CE，
∴（t-4）²=t²+4²，解得t=0，
∴E点坐标为（0，0），
∴直线PC为y轴，它不属于函数图象，
∴直线CP的解析式为y=

4

3

x-4．

点评：本题考查了抛物线的平移变换．关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线解析式．二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0）、（x₂，0）．也考查了待定系数法求一次函数解析式．