Question

如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点P由点C出发沿折线CB-BA-AD向终点D运动，速度为acm/s；点Q由点B出发，以

2

cm/s的速度沿对角线BD向终点D运动．两点同时出发，当其中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）若a=3，求PQ所在直线与BC垂直时t的值；
（2）若a=6，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆与直线BD有几次相切，并求出相切时t的值；
（3）是否存在大于2的正数a，使得在整个运动过程中，以PQ为直径的圆与直线BD相切三次？若存在，请直接写出a的值或范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：动点型

分析：（1）分类讨论：P在BC上，P在AD上，根据速度与时间的关系，可得PC、BQ的长，根据勾股定理，可得答案；
（2）分类讨论：P在BC上，P在AD上，P在AB上，运动过程中，已知∠PBQ=45°，直线与圆相切时，PQ⊥BD，围绕等腰直角三角形的两边关系，建立方程求解，可得答案；
（3）分类讨论：P在BC上，P在AD上，P在AB上，根据切线的性质，可得直角三角形，根据勾股定理，可得答案．

解答：解：（1）如图1；
，
P在BC上时，由题意得PC=3t，BP=8-3t，BQ=

2

t，
由△BPQ是等腰直角三角形，得
BP=

2

BP，
即

2

（8-3t）=

2

t，
解得t=2；
P在AD上时，PD=8×3-3t，DQ=8

2

-

2

t，
由△DPQ是等腰直角三角形，得
DQ=

2

DP，即

2

（24-3t）=

2

（8-t），
解得t=8，
当t=8时，P、Q、D重合，PQ不直线不确定，
综上所述：t=2时，PQ所在直线与BC垂直；
（2）①当P点在BC上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切，
由△BQP为等腰直角三角形，得

2

BQ=PB，即

2

×

2

t=8-6t，
解得t₁=1，
②当P点在AC上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切，
△BQP为等腰直角三角形，

2

BQ=PB，即

2

×

2

t=6t-8，
解得t₂=2，
③当P点在AD上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切，
由△DQP为等腰直角三角形，得

2

DQ=PB，即

2

（8

2

-

2

t）=24-6t，
t₃=2（不合题意的要舍去）；
综上所述：t=1时，当P点在BC上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切；
t=2时，当P点在AC上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切；
（3）不存在，由（2）可知，当P点在AD上时，P、Q重合，⊙O不存在，
∴⊙O与直线BD相切只能两次相切，
即t=1时，当P点在BC上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切；
t=2时，当P点在AB上时，PQ⊥BD，⊙O与直线BD相切．

点评：本题考查了圆的综合题，利用了切线的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键，注意不符合题意的要舍去．