Question

如图，⊙O的半径为R，在⊙O内接四边形ABCD中，AC⊥BD，OE⊥AB于点E．
（1）求证：OE=

1

2

CD；
（2）求证：AB²+CD²=4R²；
（3）若AB、CD是方程x²-6x+4=0的两个根（AB＞CD），求⊙O的半径R的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连结OA、OB、OC、OD，作OF⊥CD于F，如图，根据等腰三角形的性质由OE⊥AB，OF⊥CD得到∠BOE=

1

2

∠AOB，∠COF=

1

2

∠COD，根据圆周角定理可得∠ACB=

1

2

∠AOB，∠CBD=

1

2

∠COD，则∠BOE=∠ACB，∠COF=∠CBD，易得∠BOE+∠COF=90°，原式可根据等角的余角相等得到∠COF=∠OBE，然后根据“AAS”证明△BOE≌△OCF，得到OE=CF，再由垂径定理得到CF=DF，所以有OE=

1

2

CD；
（2）根据垂径定理得到AE=BE，CF=DF，则AB²+CD²=4BE²+4CF²，由（1）得到CF=OE，则AB²+CD²=4（BE²+4OE²），在Rt△OBE中根据勾股定理得BE²+OE²=R²，于是得到AB²+CD²=4R²；
（3）根据根与系数的关系得到得AB+CD=6，AB•CD=4，则AB²+CD²=（AB+CD）²-2AB•CD=28，再利用（2）的结论AB²+CD²=4R²得4R²=28，然后解方程即可．

解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、OD，作OF⊥CD于F，如图，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠BOE=

1

2

∠AOB，∠COF=

1

2

∠COD，
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，∠CBD=

1

2

∠COD，
∴∠BOE=∠ACB，∠COF=∠CBD，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠BOE+∠COF=90°，
而∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠COF=∠OBE，
在△BOE和△OCF中，

∠BEO=∠OFC ∠OBE=∠COF OB=OC

，
∴△BOE≌△OCF（AAS），
∴OE=CF，
而OF⊥CD，
∴CF=DF，
∴OE=

1

2

CD；
（2）证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=BE，CF=DF，
∴AB²+CD²=4BE²+4CF²，
∵CF=OE，
∴AB²+CD²=4BE²+4OE²=4（BE²+4OE²），
在Rt△OBE中，∵BE²+OE²=OB²=R²，
∴AB²+CD²=4R²；
（3）解：根据题意得AB+CD=6，AB•CD=4，
∴AB²+CD²=（AB+CD）²-2AB•CD=6²-2•4=28，
∵AB²+CD²=4R²；
∴4R²=28，解得R=

7

，
即⊙O的半径R的值为

7

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和三角形全等的判定与性质；会运用根与系数的关系和勾股定理进行计算．