Question

若A（2，O）、B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则C点的坐标是

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：压轴题

分析：根据圆周角大于对应的圆外角，当过点A、B的圆与y轴相切于点C时，∠ACB最大（AB的垂直平分线与第一象限的角平分线相交于点P），如图，连结PC，PB，作PH⊥AB，易得OA=2，AB=2，根据垂径定理由PH⊥AB得到AH=BH=1，则OH=OA+AH=3，再与切线的性质得PC⊥OC，可判断四边形PCOH为矩形，得到PC=OH=3，OC=PH，所以PB=PC=3，然后根据勾股定理计算出PH=2

2

，则有OC=2

2

，从而可得到C点坐标．

解答：解：过点A、B作圆P，且⊙P与y轴相切于C，如图，连结PC，PB，作PH⊥AB，
∵A（2，O）、B（4，0），
∴OA=2，AB=2，
∵PH⊥AB，
∴AH=BH=1，
∴OH=OA+AH=3，
∵⊙P与y轴相切于C，
∴PC⊥OC，
∴四边形PCOH为矩形，
∴PC=OH=3，OC=PH，
∴PB=PC=3，
在Rt△PBH中，PH=

PB2-BH2

=2

2

，
∴OC=2

2

，
∴C点坐标为（0，±2

2

）．
故答案为（0，±2

2

）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会运用勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形性质．