Question

如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）x为何值时，PQ∥BC；
（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；
（3）当

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

时，求

S△APQ

S△ABQ

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）由△APQ∽△CQB  得出

AP

CQ

=

AQ

CB

，进一步代入求x的值；
（3）当

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

时得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是（1）的结果，那么此时PQ∥BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积-三角形APQ的面积-三角形BQC的面积来得出答案即可．

解答：解：（1）由题意知 AP=4x，CQ=3x
若PQ∥BC   则△APQ∽△ABC，

AP

AB

=

AQ

AC

，
∵AB=BC=20，AC=30，
∴AQ=30-3x，
∴

4x

20

=

30-3x

30

，
∴x=

10

3

，
∴当x=

10

3

时，PQ∥BC．
（2）存在
∵△APQ∽△CQB  则

AP

CQ

=

AQ

CB

，
∴

4x

3x

=

30-3x

20

，
∴9x²-10x=0，
∴x₁=0（舍去）.x2=

10

9

．
∴当AP的长为

10

9

时，△APQ∽△CQB，
（3）∵

S△BCQ

S△ABC

=

1

3

，
∴

CQ

AC

=

1

3

，
又∵AC=30，
∴CQ=10，
即3x=10x=

10

3

，
此时，AP=4x=

40

3

，
∴

AP

AB

=

40 3

20

=

2

3

．
∴

S△APQ

S△ABQ

=

AP

AB

=

2

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．