Question

16．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，△CDE的边CE在射线AC上，CE＜AC，∠DCE=90°，CD=CA，沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF，过点F作FG⊥BC，垂足为点G，连接EG，DG．
（1）如图1，边CE在线段AC上，求证：GC=GF；
（2）在以下A，B两题中任选一题解答，我选择A题．
A．在图1中，求证：△EFG≌△DCG；
B．如图2，边CE在线段AC的延长线上，其余条件不变．
①在图2中，求证：△EFG≌△DCG；
②若∠CDE=20°，直接写出∠CGE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质和平移的性质即可组织三角形全等的条件；
（2）与（1）类似，运用等腰直角三角形的性质和平移的性质组织全等的条件．

解答 证明：（1）如图1，

∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵FG⊥CG，
∴∠FGC=90°，
∴∠GCF+∠GFC=90°，
∴∠GCF=45°=∠GCF，
∴GC=GF，
∵∠DCE=90°
∴∠DCG=90°-45°=45°
∴∠DCG=∠GCF，
∵平移△CDE，得到△ABF，
∴CA=EF，
∵CD=CA，
∴CD=EF，
在△EFG和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=DG}\\{∠EFG=∠DCG}\\{GF=GC}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△DCG；
（2）①如图2，
与（1）同理可证：GC=GF，∠GCF=∠GFC=45°
∵∠DCE=90°，
∴∠DCF=90°
∴∠DCG=90°-∠GCF=45°
∴∠DCG=∠GFC
∵△ABF由△CDE平移得到，
∴EC=FA
∴EF=CA
∵AC=CD
∴EF=CD
在△EFG和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=CD}\\{∠EFG=∠DCG}\\{GF=GC}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△DCG．
②∠CGE=20°．（设CD交EG于O，只要证明△DOE∽△GOC即可）

点评 此题主要考查三角形全等的证明，认真观察图形，结合已知（等腰直角三角形和平移）组织三角形全等的条件是解题的关键．