Question

【题目】如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标．
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC ， 求点P的坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，

∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，

∵点A的坐标为（﹣3，0），

∴点B的坐标为（1，0）；

（2）解：

①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，

∴ =﹣1，解得b=2．

将B（1，0）代入y=x2+2x+c，

得1+2+c=0，解得c=﹣3．

则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，

∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．

设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC=4S△BOC，

∴ ×3×|x|=4× ×3×1，

∴|x|=4，x=±4．

当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；

当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．

∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；

②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得 ，解得 ，

即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．

设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），

QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ，

∴当x=﹣ 时，QD有最大值 ．

【解析】（1）由已知可知A、B两点关于直线x=﹣1对称，即可求得点B的坐标。
（2）①根据已知，利用待定系数法求出函数解析式，由y=0求出点C的坐标，由点B、点C的坐标求出△OBC的面积，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC，建立方程求解，即可得出点P的坐标；②根据点A、C的坐标求出直线AC的解析式，由于Q是线段AC上的动点，QD⊥x轴交抛物线于点D，得出点Q和点D的横坐标相等为x，即可分别表示出它们的纵坐标，再建立QD关于x的函数解析式，求出顶点坐标，即可求得线段QD长度的最大值。
【考点精析】掌握确定一次函数的表达式和二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．