如图.在长方形ABCD中.边AB.BC的长是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发.以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动.运动时间为t(秒)．(1)求AB与BC的长,(2)当点P运动到边BC上时.试求出使AP长为$\sqrt{10}$时运动时间t的值,(3)当点P运动到边AC上时.是否存在点P.使△CDP是等腰三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x²-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为$\sqrt{10}$时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用因式分解法解出方程即可；
（2）根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）分PC=CD、PD=PC、PD=CD三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可．

解答解：（1）∵x²-7x+12=0，
则（x-3）（x-4）=0，
∴x₁=3，x₂=4．
则AB=3，BC=4；
（2）由题意得${3^2}+{（t-3）^2}=\sqrt{10}$，
∴t₁=4，t₂=2（舍去），
则t=4时，AP=$\sqrt{10}$；
（3）存在点P，使△CDP是等腰三角形，
①当PC=CD=3时，t=（3+4+3）÷1=10（秒）；
②当PD=PC（即P为对角线AC中点）时，AB=3，BC=4．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，CP=$\frac{1}{2}$AC=2.5，
∴t=（3+4+2.5）÷1=9.5（秒）；
③当PD=CD=3时，作DQ⊥AC于Q，
$DQ=\frac{{\frac{1}{2}×3×4}}{{\frac{1}{2}×5}}=\frac{12}{5}$，$PQ=\sqrt{{3^2}-{{（\frac{12}{5}）}^2}}=\frac{9}{5}$，
∴PC=2PQ=$\frac{18}{5}$，
∴$t=\frac{{3+4+\frac{18}{5}}}{1}=\frac{53}{5}$（秒），
可知当t为10秒或9.5秒或$\frac{53}{5}$秒时，△CDP是等腰三角形．

点评本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法，正确解出方程、灵活运用勾股定理列出算式是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．

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