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【题目】已知O为正方形ABCD的中心,M为射线OD上一动点(M与点O,D不重合),以线段AM为一边作正方形AMEF,连接FD.

(1)当点M在线段OD上时(如图1),线段BM与DF有怎样的数量及位置关系?请说明理由;

(2)当点M在线段OD的延长线上时(如图2),(1)中的结论是否仍然成立?请结合图2说明理由.

【答案】(1)BM=DF,BM⊥DF.理由见解析;(2)BM=DF,BM⊥DF仍然成立,理由见解析.

【解析】

(1)根据图形,由正方形的性质证得△FAD≌△MAB,进而求出BM=DF,∠FDA=∠ABD=45°,结合已知条件即可推出BM=DF,BM⊥DF;
(2)成立,根据正方形的性质,推出△ABM≌△ADF,根据正方形的性质推出∠BAM=∠DAF,△ABM≌△ADF,进而求出BM=DF,∠ABM=∠ADF,∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°即可.

(1)BM=DF,BM⊥DF.

理由:∵四边形ABCD,AMEF均为正方形,

∴AF=AM,AD=AB,∠FAM=∠DAB=90°,

∴∠FAM-∠DAM=∠DAB-∠DAM,即∠FAD=∠MAB.

在△FAD和△MAB中,

∴△FAD≌△MAB(SAS),∴BM=DF,∠FDA=∠ABD=45°.

∵∠ADB=45°,∴∠FDB=45°+45°=90°.∴BM⊥DF,即BM=DF,BM⊥DF.

(2)BM=DF,BM⊥DF仍然成立,

理由:∵四边形ABCD和AMEF均为正方形,∴AB=AD,AM=AF,∠BAD=∠MAF=90°,

∴∠FAM+∠DAM=∠DAB+∠DAM,即∠FAD=∠MAB.

在△FAD和△MAB中,

∴△FAD≌△MAB(SAS),∴BM=DF,∠ABM=∠ADF.

由正方形ABCD知,∠ABM=∠ADB=45°,

∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°,即BM⊥DF.

∴(1)中的结论仍成立.

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20

21

22

23

身高hcm

160

169

178

187

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