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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=-x-x轴交于点A,与y轴交于点B,点Cx轴正半轴上,且OC=3AO,过点ABC的平行线l

1)求直线BC的解析式;

2)作点A关于BC的对称点D,一动点PC点出发按某一路径运动到直线l上的点M,再沿垂直BC的方向运动到直线BC上的点N,再沿某一路径运动到D点,求点P运动的最短路径的长以及此时点N的坐标;

3)如图2,将AOB绕点B旋转,使得A′O′BC,得到A′O′B,将A′O′B沿直线BC平移得到A″O″B′,连接A″B″C,是否存在点A″,使得A″B′C为等腰三角形?若存在,请直接写出点A″的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1) y=x-;(2) 2, N(,-);(3)见解析.

【解析】

1)利用待定系数法即可解决问题;

2)如图2中,作点C关于直线AF的对称点C′,连接CC′AF于点F,连接DFBCN,作NEAFE,连接EC,则此时CE+EN+DN的值最小,最小值=线段DF的长;

3)分四种情形分别画出图形求解即可.

1)∵直线y=-x-x轴交于点A,与y轴交于点B

A-10),B0-),

OC=3OA

OC=3

C30),

设直线BC的解析式为y=kx+b,则有

解得

∴直线BC的解析式为y=x-

2)如图2中,作点C关于直线AF的对称点C′,连接CC′AF于点F,连接DFBCN,作NEAFE,连接EC,则此时CE+EN+DN的值最小,最小值=线段DF的长.

由题意D1-2),

∵直线CF的解析式为y=x+,直线CF的解析式为y=-x+3

,解得

F2),

DF==2

∴点P的路径的最小值为2

∵直线DF的解析式为y=3x-5

,解得

N-);

3)由题意,BO′=BO=AB=BA′=2OA=O′A′=1,点O′向下平移个单位,向右平移单位得到A′

①如图3中,当CB′=B′A″=2时,此时O″-),可得A″2--1-).

②如图4中,当CB′=CA″时,设CB′=CA″=x,则有x2=12+-x2

可得x=,此时O″-),可得A″3-).

③当B′C=B′A″=2时,O″),可得A″2+1-

④当CA″=B′A″=2时,O″),可得A″50).

综上所述,满足条件的点A″的坐标为(2--1-)或(3-)或(2+1-)或(50).

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