Question

【题目】若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1 ， x2 ， 且x1 x2有下列结论：①x1=2,x2=3；②m> ；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2,0）和（3,0）.其中正确的结论是（填正确结论的序号）

Answer 1

【答案】C
【解析】一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：x2-5x+6-m=0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，
解得：m＞- ，故选项②正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-m，
而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；
二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），
令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，
解得：x=2或3，
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：②③．

题中没有告诉m=0,因此①错误；将原方程化成一般形式，根据b2-4ac＞0，求出其解集，可知②正确；将选项③的二次函数化成一般形式，利用根与系数的关系得出两根之和和两根之积。然后代入，设y=0，得到关于x的方程，求出方程的解，确定二次函数与x轴的交点坐标，可知③正确。