Question

如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一动点（包括点A、点C），点E在直线BC上，且PE=PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）连接DE，求证：△DPE为等腰直角三角形；
（3）若AB=2

2

，点P在AC上运动过程中，求出△DPE面积的最大值和最小值．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，然后利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CDP=∠CBP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，从而得到∠CDP=∠E，再根据三角形的内角和定理可得∠DPE=∠DCE=90°，然后根据等腰直角三角形的定义证明即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质列式表示出△DPE面积，然后判断出点P与点A或C重合时，面积最大，点P与正方形的中心重合是面积最小，然后求解即可．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，
在△BCP和△DCP中，

BC=CD ∠ACB=∠ACD CP=CP

，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）证明：∵△BCP≌△DCP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠CDP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴△DPE为等腰直角三角形；

（3）解：∵△DPE为等腰直角三角形，
∴△DPE面积=

1

2

DP²，
∴点P与点A或C重合时，面积最大，点P与正方形的中心重合是面积最小，
∵AB=2

2

，
∴△DPE面积的最大值=

1

2

×（2

2

）²=4，
最小值=

1

2

×（

2

2

×2

2

）²=2．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，等腰直角三角形的判断与性质，难点在于（3）判断出△DPE的面积最大和最小时点P的位置．