Question

在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，DM⊥BC．
（1）求证：M是BC的中点；
（2）若AB=6，BC=8，求DM的长．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）延长DM交AC于N，可证明AN=DN=CN，可知N为AC中点，则M为BC中点；
（2）由（1）可知DN=

1

2

AC，MN=

1

2

AB，代入可求得DM．

解答：（1）证明：如图，延长DM交AC于点N，
∵∠B=90°，DM⊥BC，
∴DN∥AB，
∴∠NDA=∠BAD，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠NAD，
∴∠NDA=∠NAD，
∴NA=ND，
∵CD⊥AD，
∴∠NDA+∠NDC=∠DAC+∠NCD=90°，
∴∠NCD=∠NDC，
∴ND=NC，
∴N是AC的中点，且DN∥AB，
∴M为BC中点；
（2）解：在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，可求得AC=10，
由（1）可知DN=

1

2

AC=5，
又∵MN为△ABC的中位线，
∴MN=

1

2

AB=3，
∴DM=DN-MN=5-3=2．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和三角形中位线定理及直角三角形的性质，掌握等角对等边、三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键，注意平行和勾股定理的应用．