Question

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE=45°．
（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．
（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN=MN，试求∠MAN的大小．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,旋转的性质

专题：

分析：（1）完成图形；
（2）易证∠DAE=∠FAE=45°，即可证明△DAE≌△FAE，可得EF=DE，根据∠ACF=45°可证∠ECF=90°，根据勾股定理可得EF²=EC²+FC²，即可解题；
（3）由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠D=90°，可得ME=MN，即可证明△AEM≌△ANM，可得∠MAE=∠MAN=45°，即可解题．

解答：解：（1）完成图形，

（2）连接EF，

由旋转可知，AF=AD，CF=BD，∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
在△DAE和△FAE中，

AF=AD ∠DAE=∠FAE=45° AE=AE

，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴EF=DE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴EF²=EC²+FC²，
∴DE²=EC²+BD²；
（3）将△ADN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠D=90°，
∴E，B，M三点共线，
∵BM+DN=MN，
∴ME=MN，
在△AEM和△ANM中，

AN=AE EM=MN AM=AM

，
∴△AEM≌△ANM（SSS），
∴∠MAE=∠MAN=45°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△DAE≌△FAE和△AEM≌△ANM是解题的关键．