Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，E是BC上一点，∠AED=90°，AB=6，SIN∠AEB=

3

5

，矩形ABCD的点B与O重合，BC在x轴上，现有一张硬纸片△MGN，∠MGN=90°，点M在x轴上，点G在ED上，NG=3，N与E重合．现将△MGN以每秒1个单位的速度沿EB方向在x轴上匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD方向向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接QP，当点P到达终点D时，△MGN和点P同时停止运动，设运动时间x秒．
（1）若反比例函数的图象经过点D，求该反比例函数的解析式．
（2）在整个运动过程中，设△MGN与△ABE重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（3）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ为等腰三角形，若存在，求出x的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）在Rt△ABE中运用三角函数的定义就可求出BE、AE，易证△ABE∽△ECD，运用相似三角形的性质可求出EC，从而求出点D的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题；
（2）易证△ABE∽△NGM，从而可求出GM、MN、S_△MGN，由于在整个运动过程中，△MGN与△ABE重叠部分的形状发生变化，可结合临界位置分四种情况（①0＜x≤5，②5＜x≤8，③8＜x≤

49

5

，④

49

5

＜x≤

25

2

）进行讨论，然后只需运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）由于△APQ为等腰三角形，因此可分三种情况（①AP=AQ，②PA=PQ，③QA=QP）讨论，然后只需运用等腰三角形及相似三角形的性质就可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
在Rt△ABE中，sin∠AEB=

AB

AE

=

3

5

，
∵AB=6，∴AE=10，BE=8．
∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°．
∵∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠DEC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC=6，∠DCB=∠ABC=90°，
∴△ABE∽△ECD，
∴

AB

BE

=

EC

CD

，
∴

6

8

=

EC

6

，
∴EC=

9

2

，
∴AD=BC=BE+EC=8+

9

2

=

25

2

，
∴D（

25

2

，6）．
设过点D的反比例函数的解析式为y=

k

x

，
则k=

25

2

×6=75，
∴反比例函数的解析式为y=

75

x

．

（2）如图1，
∵∠GNM=∠BAE，∠ABE=∠NGM=90°，
∴△ABE∽△NGM，
∴

AB

NG

=

AE

NM

=

BE

GM

，
∴

6

3

=

10

NM

=

8

GM

，
∴NM=5，GM=4，
∴S_△MGN=

1

2

×3×4=6．
①当0＜x≤5时，如图2．

由平移得：AE∥GM，
∴△NQE∽△NGM，
∴

S△NQE

S△NGM

=（

NE

NM

）²，
∴

y

6

=（

x

5

）²=

x2

25

，
∴y=

6

25

x²；
②当5＜x≤8，如图3．

y=S_△MGN=6．
③当8＜x≤

49

5

时，如图4，

则NB=NE-BE=x-8．
∵∠HNB=∠MNG，∠NBH=∠G=90°，
∴△NBH∽△NGM，
∴

S△NBH

S△MGN

=（

NB

GN

）²=（

x-8

3

）²，
∴S_△NBH=6×

(x-8)2

9

=

2

3

x²-

32

3

x+

128

3

，
∴y=6-（

2

3

x²-

32

3

x+

128

3

）=-

2

3

x²+

32

3

x-

110

3

；
④

49

5

＜x≤

25

2

，如图5，

则有BM=MN-NB=5-（x-8）=13-x．
∵∠HMB=∠NMG，∠HBM=∠G=90°，
∴△MBH∽△MGN，
∴

S△MBH

S△MGN

=（

BM

GM

）²=（

13-x

4

）²，
∴y=6×

(13-x)2

16

=

3

8

x²-

39

4

x+

507

8

．


（3）如图2，
∵O＜x≤

25

2

，AP=x，NE=x，
∴NQ=NE•sin∠QEN=

3

5

x，
∴EQ=

NE2-NQ2

=

4

5

x，
∴AQ=AE-QE=10-

4

5

x．
①当AP=AQ时，x=10-

4

5

x，
∴x=

50

9

；
②当PA=PQ时，过点P作PK⊥AQ于点K，
则AK=KQ=

1

2

AQ=5-

2

5

x．
∵AD∥BC，∴∠PAK=∠AEB．
∵∠AKP=∠ABE=90°，
∴△AKP∽△EBA，
∴

AK

EB

=

AP

EA

，
∴

5- 2 5 x

8

=

x

10

，
∴x=

25

6

．
③当QA=QP时，过点Q作QN⊥AP于W，如图3，
则有AW=WP=

1

2

AP=

1

2

x．
∵∠WAQ=∠AEB，∠AWQ=∠ABE=90°，
∴△AWQ∽△EBA，
∴

AW

EB

=

AQ

EA

，
∴

1 2 x

8

=

10- 4 5 x

10

，
∴x=

400

57

，
综上所述：存在点P，使△APQ为等腰三角形，x的值为

50

9

、

25

6

、

400

57

．

点评：本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求反比例函数的解析式、等腰三角形的性质等知识，解决本题的关键是找准临界位置进行分类，并运用相似三角形的性质建立关于x的方程．