Question

在⊙O中，AB为⊙O直径，PC经过⊙O，C为AB的延长线上一点，PD：DC=2：3，过P作AB垂线交于点F，连接OD交PF于点E，连接CE，Q为⊙O上一点，连接OQ、EQ、QP，OC=5，DC=3，EC为∠PCA的角平分线且FC=CD．
（1）求⊙O半径；
（2）当∠QOD=90°时，AB上有一点G，求PG+QG的最小值；
（3）S_△PQE是否存在最大值？若存在，请写出S_△PQE的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）易判定△CDO为直角三角形，即可求得DO的长，即可解题；
（2）找到点Q关于AB的对称点Q'，连接PQ'交AB于G，连接OQ'，作Q'M⊥PF，作OH⊥Q'M，则四边形ONQ'H和四边形OFMH均为矩形，易证sin∠DCO=sin∠QOA，∠OQ'H=∠AOQ'，∠AOQ'=∠AOQ，即可求得OH，Q'H的长，即可求得Q'M和PM的长，根据勾股定理即可求得PQ'的长，即可解题；
（3）根据2倍角的正切函数值计算公式可以求得tan∠ECF=

1

2

，即可求得PE的值，根据S_△PQE存在最大值为点Q和点A重合时，即可求得S_△PQE的值，即可解题．

解答：解：（1）∵PC与⊙O相切，
∴OD⊥PC，
∵CO=5，CD=3，
∴DO²=CO²-CD²=16，
∴OD=4，
∴⊙O半径为4；
（2）找到点Q关于AB的对称点Q'，连接PQ'交AB于G，连接OQ'，作Q'M⊥PF，作OH⊥Q'M，则四边形ONQ'H和四边形OFMH均为矩形，

∵∠QOD=90°，∠PDO=90°，
∴OQ∥PC，
∴∠QOA=∠DCO，
∴sin∠DCO=sin∠QOA=

DO

CO

=

4

5

，
∵∠OQ'H=∠AOQ'，∠AOQ'=∠AOQ，
∴OH=OQ'•sin∠OQ'H=

16

5

，
∴Q'H=

12

5

，
∵CO=5，CF=CD=3，
∴OF=2，
∴HM=2，
∴Q'M=Q'H+HM=

22

5

，
∵PF⊥CF，PC=5，CF=3，
∴PF=4，
∴PM=PF+MF=PF+OH=

36

5

，
∵RT△PMQ'中，PQ'²=PM²+Q'M²，
∴PQ'=

2 445

5

，
∴PG+QG的最小值=PQ'=

2 445

5

；
（3）∵EC为∠PCA的角平分线，
∴tan∠OCD=

2tan∠ECF

1-(tan∠ECF)2

，
∴tan∠ECF=

1

2

，
∴EF=CF•tan∠ECF=

3

2

，
∴PE=PF-EF=

5

2

，
∵S_△PQE存在最大值为点Q和点A重合时，
S_△PQE=

1

2

PE•AF=

1

2

×

5

2

×（4+2）=

15

2

．

点评：本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了勾股定理的运用，考查了2倍角的正切函数值，考查了三角形面积的计算，本题中求得PE的长是解题的关键．