Question

如图，正方形ABCD和正方形AGFE，连结DE、BG，且∠DAE＜45°．
（1）填空：∠DAB=∠EAG=

 

°；
（2）连结AC、EG，AC交EF于P，AB交GF于Q，连结PQ．
①若PQ∥EG，求证：∠PAE=∠QAG；
②若正方形AGFE的边长为a，求△PFQ的周长（用含有a的代数式表示）．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形各内角为90°即可解题；
（2）①易证EP=GQ，即可证明△EAP≌△GAQ，可得∠PAE=∠QAG，即可解题；
②易证∠BAG=∠DAE，即可证明△DAE≌△BAG，可得∠DAE=∠BAG，根据①中结论可得∠BAG=22.5°，即可求得FQ的值，易证△PFQ为等腰直角三角形，即可求得△PFQ的周长=（2+

2

）FQ，即可解题．

解答：解：（1）∵四边形ABCD和四边形AGFE均为正方形，
∴∠DAB=∠EAG=90°，
故答案为 90°；
（2）①∵PQ∥EG，
∴

GQ

FG

=

EP

EF

，
∵EF=FG，
∴EP=GQ，
在△EAP和△GAQ中，

EP=GQ ∠AEP=∠AGQ=90° AE=AG

，
∴△EAP≌△GAQ，
∴∠PAE=∠QAG；
②∵∠DAE+∠EAB=90°，∠BAG+∠EAB=90°，
∴∠BAG=∠DAE，
在△DAE和△BAG中，

AD=AB ∠BAG=∠DAE AE=AG

，
∴△DAE≌△BAG（SAS），
∴∠DAE=∠BAG，
∵∠PAE=∠QAG，
∴∠DAE=∠PAE，
∵∠DAE+∠PAE=∠DAC=45°，
∴∠BAG=22.5°，
∴GQ=AG•tan22.5°=（

2

-1）a，
∴FQ=a-（

2

-1）a=（2-

2

）a，
∵PQ∥EG，
∴△PFQ为等腰直角三角形，
∴PQ=

2

FQ，PF=FQ，
∴△PFQ的周长=FQ+PF+PQ=（2+

2

）FQ=（2+

2

）（2-

2

）a=2a．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了特殊角的三角函数值，考查了正方形的性质，本题中求证△DAE≌△BAG是解题的关键．