Question

如图，P为⊙O的直径AB上一点，M、N在半圆

AB

上，且∠APM=∠NPB，若OP=2cm，AB=10cm，∠NPB=30°，求PN+PM的值．

Answer 1

考点：垂径定理,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：计算题

分析：延长NP交⊙O于Q，作OH⊥NQ于H，连结MQ，ON，如图，由∠APM=∠NPB，∠APQ=∠NPB得到∠APM=∠APQ，利用圆的对称性得到点M与点Q关于AB对称，则PM=PQ，所以PN+PM=PQ+PN=NQ，在Rt△OPH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=1，则在Rt△OHN中可勾股定理计算出NH=2

6

，然后根据垂径定理得到NH=QH，NQ=2NH=4

6

，即可得到PN+PM的值．

解答：解：延长NP交⊙O于Q，作OH⊥NQ于H，连结MQ，ON，如图，
∵∠APM=∠NPB，
而∠APQ=∠NPB，
∴∠APM=∠APQ，
∴点M与点Q关于AB对称，
∴PM=PQ，
∴PN+PM=PQ+PN=NQ，
在Rt△OPH中，∵OP=2，∠OPH=30°，
∴OH=1，
在Rt△OHN中，∵OH=1，ON=5，
∴NH=

ON2-OH2

=2

6

，
∵OH⊥NQ，
∴NH=QN，
∴NQ=2NH=4

6

，
∴PN+PM的值为4

6

．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．