【题目】问题探究
(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;
(2)如图②,是正方形内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点),使它们将正方形的面积四等分:
问题解决
(3)如图③,在四边形中,,点是的中点如果,且,那么在边上足否存在一点,使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分?若存在,求出的长:若不存在,说明理由.
【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)存在,BQ=b
【解析】
(1)画出互相垂直的两直径即可;
(2)连接AC、BD交于O,作直线OM,分别交AD于P,交BC于Q,过O作EF⊥OM交DC于F,交AB于E,则直线EF、OM将正方形的面积四等分,根据三角形的面积公式和正方形的性质求出即可;
(3)当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD的面积二等份,连接BP并延长交CD的延长线于点E,证△ABP≌△DEP求出BP=EP,连接CP,求出S△BPC=S△EPC,作PF⊥CD,PG⊥BC,由BC=AB+CD=DE+CD=CE,求出S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP,即可得出S四边形ABQP=S四边形CDPQ即可.
解:(1)如图1所示,
(2)连接AC、BD交于O,作直线OM,分别交AD于P,交BC于Q,过O作EF⊥OM交DC于F,交AB于E,
则直线EF、OM将正方形的面积四等分,
理由是:∵点O是正方形ABCD的对称中心,
∴AP=CQ,EB=DF,
在△AOP和△EOB中
∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE,
∴∠AOP=∠BOE,
∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°,
∴△AOP≌△EOB,
∴AP=BE=DF=CQ,
设O到正方形ABCD一边的距离是d,
则(AP+AE)d=(BE+BQ)d=(CQ+CF)d=(PD+DF)d,
∴S四边形AEOP=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DPOF,
直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份;
(3)存在,当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD的面积二等份,
理由是:如图③,连接BP并延长交CD的延长线于点E,
∵AB∥CD,
∴∠A=∠EDP,
∵在△ABP和△DEP中
∴△ABP≌△DEP(ASA),
∴BP=EP,
连接CP,
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等,
又∵BP=EP,
∴S△BPC=S△EPC,
作PF⊥CD,PG⊥BC,则BC=AB+CD=DE+CD=CE,
由三角形面积公式得:PF=PG,
在CB上截取CQ=DE=AB=a,则S△CQP=S△DEP=S△ABP
∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP
即:S四边形ABQP=S四边形CDPQ,
∵BC=AB+CD=a+b,
∴BQ=b,
∴当BQ=b时,直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.
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【题目】我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:F(n)=,例如12可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12-1>6-2>4-3,所有3×4是最佳分解,所以F(12)=.
(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数,求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1.
(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”中F(t)的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点(A点在B点右侧),一次函数的图象经过A、C两点,已知.
(1)求该二次函数和一次函数的解析式
(2)连接BC,求△ABC的面积
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化?写出函数关系式及t的取值范围.
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【题目】某中学现有在校学生 1250 人,为了解本校学生的课余活动情况,采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生,并将调查的结果绘制了 如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)本次调査共取了多少名学生?
(2)通过计算补全条形图,并求出扇形统计图中阅读部分圆心角的度数;
(3)请你估计该中学在课余时间参加阅读和其他活动的学生一共有多少名
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【题目】如图,已知正方形 ABCD 的边长为 5,点 E、F 分别在 AD、DC 上,AE=DF=2,BE 与 AF 相交于点 G,点 H 为 BF 的中点,连接 GH,求 GH 的长.
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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=∠ABE=60°,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM,则AM+BM+CM的最小值为_____.
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【题目】某中学开展“阳光体育一小时”活动.根据学校事假情况,决定开设四项运动项目:A:踢毽子;B:篮球;C:跳绳;D:乒乓球.为了解学生最喜欢哪一种运动项目,随机抽取了n名学生进行问卷调查,每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种喜欢的运动项目.收回全部问卷后,将收集到的数据整理并绘制成如下的统计图,若参与调查的学生中喜欢A方式的学生的人数占参与调查学生人数的40%.根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)求n的值.
(2)求参与调查的学生中喜欢C的学生的人数.
(3)根据统计结果,估计该校1800名学生中喜欢C方式的学生比喜欢B方式的学生多的人数.
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