Question

【题目】问题探究

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，是正方形内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积四等分：

问题解决

（3）如图③，在四边形中，，点是的中点如果，且，那么在边上足否存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？若存在，求出的长：若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）存在，BQ=b

【解析】

（1）画出互相垂直的两直径即可；

（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，则直线EF、OM将正方形的面积四等分，根据三角形的面积公式和正方形的性质求出即可；

（3）当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，连接BP并延长交CD的延长线于点E，证△ABP≌△DEP求出BP=EP，连接CP，求出S△BPC=S△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，求出S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP，即可得出S四边形ABQP=S四边形CDPQ即可．

解：（1）如图1所示，

（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，

则直线EF、OM将正方形的面积四等分，

理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心，

∴AP=CQ，EB=DF，

在△AOP和△EOB中

∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，

∴∠AOP=∠BOE，

∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，

∴△AOP≌△EOB，

∴AP=BE=DF=CQ，

设O到正方形ABCD一边的距离是d，

则（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，

∴S四边形AEOP=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DPOF，

直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；

（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，

理由是：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠EDP，

∵在△ABP和△DEP中

∴△ABP≌△DEP（ASA），

∴BP=EP，

连接CP，

∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等，

又∵BP=EP，

∴S△BPC=S△EPC，

作PF⊥CD，PG⊥BC，则BC=AB+CD=DE+CD=CE，

由三角形面积公式得：PF=PG，

在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S△CQP=S△DEP=S△ABP

∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP

即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ，

∵BC=AB+CD=a+b，

∴BQ=b，

∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．