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【题目】问题探究

1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;

2)如图②,是正方形内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点),使它们将正方形的面积四等分:

问题解决

3)如图③,在四边形中,,点的中点如果,且,那么在边上足否存在一点,使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分?若存在,求出的长:若不存在,说明理由.

【答案】1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)存在,BQ=b

【解析】

1)画出互相垂直的两直径即可;

2)连接ACBD交于O,作直线OM,分别交ADP,交BCQ,过OEFOMDCF,交ABE,则直线EFOM将正方形的面积四等分,根据三角形的面积公式和正方形的性质求出即可;

3)当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD的面积二等份,连接BP并延长交CD的延长线于点E,证△ABP≌△DEP求出BP=EP,连接CP,求出SBPC=SEPC,作PFCDPGBC,由BC=AB+CD=DE+CD=CE,求出SBPC-SCQP+SABP=SCPE-SDEP+SCQP,即可得出S四边形ABQP=S四边形CDPQ即可.

解:(1)如图1所示,

2)连接ACBD交于O,作直线OM,分别交ADP,交BCQ,过OEFOMDCF,交ABE

则直线EFOM将正方形的面积四等分,

理由是:∵点O是正方形ABCD的对称中心,

AP=CQEB=DF

在△AOP和△EOB

∵∠AOP=90°-AOE,∠BOE=90°-AOE

∴∠AOP=BOE

OA=OB,∠OAP=EBO=45°

∴△AOP≌△EOB

AP=BE=DF=CQ

O到正方形ABCD一边的距离是d

AP+AEd=BE+BQd=CQ+CFd=PD+DFd

S四边形AEOP=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DPOF

直线EFOM将正方形ABCD面积四等份;

3)存在,当BQ=CD=b时,PQ将四边形ABCD的面积二等份,

理由是:如图③,连接BP并延长交CD的延长线于点E

ABCD

∴∠A=EDP

∵在△ABP和△DEP

∴△ABP≌△DEPASA),

BP=EP

连接CP

∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等,

又∵BP=EP

SBPC=SEPC

PFCDPGBC,则BC=AB+CD=DE+CD=CE

由三角形面积公式得:PF=PG

CB上截取CQ=DE=AB=a,则SCQP=SDEP=SABP

SBPC-SCQP+SABP=SCPE-SDEP+SCQP

即:S四边形ABQP=S四边形CDPQ

BC=AB+CD=a+b

BQ=b

∴当BQ=b时,直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.

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