Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=5．将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,弧长的计算

专题：计算题

分析：矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地转动了270°，顶点A第一次绕点B旋转了90°到点A₁处，顶点A第二次由点A₁绕点C₁旋转了90°到点A₂处，顶点A第三次由点A₂绕点D₂旋转了90°到点A₃处，然后根据弧长公式计算三个弧长，再求它们的和即可．

解答：解：矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地转动了90°×3=270°，即矩形ABCD转动了3次，
点A转到了点A₃的位置，如图，
因为AB=3，AD=5，则A₁D₁=AD=5，C₁D₁=CD=AB=3，
所以A₁C₁=

32+52

=

34

，
所以顶点A经过的路线长=

90•π•3

180

+

90•π• 34

180

+

90•π•5

180

=

8+ 34

2

π．
故答案为

8+ 34

2

π．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式．