【题目】在平面直角坐标系中,记与的函数(≠0,n≠0)的图象为图形G, 已知图形G与轴交于点,当时,函数有最小(或最大)值n, 点B的坐标为(, ),点A、B关于原点O的对称点分别为C、D,若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上,且对角线AC,BD的交点与原点O重合,则称四边形ABCD为图形G的伴随四边形,直线AB为图形G的伴随直线.
(1)如图,若函数的图象记为图形G,求图形G的伴随直线的表达式;
(2)如图,若图形G的伴随直线的表达式是,且伴随四边形的面积为12,求与的函数(m>0,n <0)的表达式;
(3)如图,若图形G的伴随直线是,且伴随四边形ABCD是矩形,求点B的坐标.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)先利用抛物线解析式确定A点和B点坐标,然后利用待定系数法求伴随直线的解析式;
(2)如图2,作BE⊥AC于点E,利用一次函数解析式和关于原点对称的坐标特征得到A(0,-3)和C(0,3),再利用平行四边形ABCD的面积为12可求出BE=2,则B点的横坐标为2,则利用顶点B在直线上得到顶点B的坐标为(2,-1),则设顶点式y=a(x-2)2-1,然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式;
(3)如图,作轴于点,由在直线上,可得点B的坐标为(,),在Rt△OEB中,由勾股定理求出m的值,从而可求出点B的坐标.
(1)由题意得,
设所求伴随直线的表达式为,
则
解,得
所以函数y=(x-2)2+1的伴随直线的表达式是;
(2)如图,作BE⊥AC于点E,
由题意知,
OC=OA,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵,,
∴,
∵平行四边形ABCD的面积为12,
∴,
即,
∴ ,
∵>0,即顶点B在轴的右侧,且在直线上,
∴,
又图形G经过点,
设顶点式y=a(x-2)2-1,
∴4a=-2,
,
;
(3)如图,作轴于点,
由已知得:,,
∵在直线上,
∴,即点B的坐标为(,),
∵矩形,
∴= 4,
∴,
在Rt△OEB中
,
∴,
∴(不合题意,舍去),,
∴ ,
∴点的坐标为.
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【题目】网络视频的兴起让重庆一度成为“网红”城市,并且使得到山城重庆的游客剧增.某旅游公司根据游客的需求推出了“快速游”和“精品游”两种套餐.9月份,该旅游公司“快速游”.“精品游”两种套餐的价格分别为800元/人.2000元/人,其中“快速游”套餐的游客人数比“精品游”套餐的游客人数的2倍多300人,总收入是240万元.
(1)求9月份该旅游公司“快速游”套餐的游客人数;
(2)该公司为了接纳更多的游客,提升口碑,10月份“快速游”套餐价格比9月份下降了,10月份“精品游”套餐价格比9月份下降了.已知10月份该公司两种套餐的游客人数的和达到4000人,其中“精品游”套餐的游客人数占两种套餐的游客人数的和的,且10月份总收入达到了457.6万元,求a的值
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【题目】如图,AC是某市环城路的一段,AE,BF,CD都是南北方向的街道,其与环城路AC的交叉路口分别是A,B,C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向,点B的北偏东30°方向上,AB=2km,∠DAC=15°.
(1)求B,D之间的距离;
(2)求C,D之间的距离.
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【题目】(1)如图矩形的对角线.交于点,过点作,且,连接,判断四边形的形状并说明理由.
(2)如果题目中的矩形变为菱形,四边形的形状____________.
(3)如果题目中的矩形变为正方形,四边形的形状____________.
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)函数的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是y与x的几组对应值.
x | … | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | |
y | … | 3 | m | … |
求m的值;
(3)如下图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)结合函数的图象,写出该函数的一条性质: .
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【题目】一个圆柱体包装盒,高40cm,底面周长20cm.现将彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD(如图1),然后用这条平行四边形纸带按如图2的方式把这个圆柱体包装盒的侧面进行包贴(要求包贴时没有重叠部分),纸带在侧面缠绕四圈,正好将这个圆柱体包装盒的侧面全部包贴满,则所需的纸带AD的长度为_____ cm.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,矩形的顶点、,将矩形的一个角沿直线折叠,使得点落在对角线上的点处,折痕与轴交于点.
(1)线段的长度为__________;
(2)求直线所对应的函数解析式;
(3)若点在线段上,在线段上是否存在点,使四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】阅读下列材料,完成任务:
自相似图形
定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.
任务:
(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为 ;
(2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则△ACD与△ABC的相似比为 ;
(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).
请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择 题.
A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含n,b的式子表示);
B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含m,n,b的式子表示).
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