Question

【题目】（1）探索发现

如图①，在中，，，，点分别是的中点，连接，则的值为　　　　．

（2）拓展探索

若将绕点逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的值有没有变化？以图②的情形给出证明．

（3）问题解决

如图③，当旋转到三点在同一条直线上是，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）没有变化，理由见解析；（3）或．

【解析】

（1）连接AE，根据等腰三角形的性质可得∠AEB=90°，再运用锐角三角函数解直角三角形求得AC，进而求得AD和BE，最后代入即可求解；

（2）先说明△ACD∽△BCE，再运用相似三角形的性质解答即可；

（3）分点D在线段AE上和AE的延长线上两种情况，分别利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理以及线段的和差求解即可．

解：（1）如图：连接AE

∵，BE=EC=，

∴AE⊥BC，∠ACB=∠DCE=30°

∵

∴cos∠ACB =cos30°=,即

∴AB=AC=2

∴AD=CD=AC=1

∴

故答案为；

（2）没有变化，理由如下：

∵CD=1，CE=BE=，AB=AC=2，

∴

∴

∵∠ACB=∠DCE=30°

∴∠ACD=∠BCE

∴△ACD∽△BCE

∴；

（3）①当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF=180°-∠CDE=60°

∴∠DCF=30°

∴DF=CD=

∴

在Rt△AFC中，AC=2，由勾股定理得：

∴

∵

∴；

②当点D在线段AE的延长线上时

如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，

∵∠CDG=60°

∴∠DCG=30°

∴

∴

在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG=

∴

∵

∴；

∴线段BE的长为或．