Question

5．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O为AB边中点，将△ABC绕点O逆时针旋转60°至△EDA位置，连接CD．
（1）求证：OD⊥BC；
（2）求证：四边形AODC为菱形．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得出∠DOB=60°．再由已知条件得出∠OFB=90°即可；
（2）证出AC∥OD，连接OC，得出OA=OC=OB，由旋转可知：OD=OB，因此OA=OC=OB=OD，证出△AOC为等边三角形，得出AC=OA，因此AC=OD，证出四边形AODC是平行四边形，再由OA=OD，即可得出四边形AODC是菱形．

解答 （1）证明：由旋转的性质可知：∠DOB=60°．
∵∠B=30°，
∴∠OFB=90°，
∴OD⊥BC；
（2）证明：由（1）知∠OFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OFB，
∴AC∥OD，
在Rt△ABC中，O为AB边中点，
连接OC，如图所示：
∴OA=OC=OB由旋转可知：OD=OB，
∴OA=OC=OB=OD，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°
∴△AOC为等边三角形，
∴AC=OA，
∵OA=OD，
∴AC=OD，
∵AC∥OD，
∴四边形AODC是平行四边形，
又∵OA=OD，
∴四边形AODC是菱形．

点评 本题考查了旋转的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．