Question

【题目】如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

由圆周角定理得，∠BOC=2∠CDB=60°，

∵∠OBD=30°，

∴OC⊥BD，

∵AC∥BD，

∴OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：扇形OBC的面积= =6π，

∵OB=6，∠OBH=30°，

∴OH=3，BH=3 ，

△OBH的面积= ×BH×OH= ×3 ×3= ，

△HCD的面积= ×6×3 × = ，

∴阴影部分的面积=6π﹣ + =6π．

【解析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠CDB=60°，得到OC⊥BD，根据平行线的性质得到OC⊥AC，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据扇形的面积公式、三角形的面积公式计算即可．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理和扇形面积计算公式的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）才能正确解答此题．