Question

如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为x米．
（1）若两个鸡场总面积为96m²，求x；
（2）若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式；
（3）两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：几何图形问题

分析：（1）根据题意可知AD的长度等于BC的长度，列出式子AD-2+3x=34，即可得出用x的代数式表示AD的长，利用题目给出的面积，列出方程式求出x的值；
（2）利用面积公式可得S关于x的关系式；
（3）把代数式表示的面积整理为a（x-h）²+b的形式可求得最大面积，亦可得出AB的长．

解答：解：（1）由题意得：AD=BC，
∵两个鸡场是用34m长的篱笆围成，
∴AD-2+3x=34，
即AD=36-3x，
∵两个鸡场总面积为96m²，
∴列出方程式：x（36-3x）=96，
解得：x=4或x=8，
当x=4时，AD=24＞20，不合题意，舍去；
当x=8时，AD=12＜20，满足题意，
故x=8时，两个鸡场总面积为96m²；

（2）S=AD×AB=（36-3x）•x=-3x²+36x，
∵0＜AD≤20，
∴

16

3

≤x＜12，
故S关于x的关系式：S=-3x²+36x，（

16

3

≤x＜12）．

（3）鸡场面积S=x（36-3x）=-3x²+36x=-3（x-6）²+108，
当x=6时，S取最大值108，
此时AD=18＜20，符合题意，
即AB=6时，S_最大=108．

点评：本题考查二次函数的应用，涉及了一元二次方程及配方法的应用，有一定难度，解答本题的关键是用配方法得到最大面积，另外需要注意函数自变量的取值范围．