Question

19．因为$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，…，$\frac{1}{19×20}$=$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{20}$，
所以$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{19×20}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{20}$=1-$\frac{1}{20}$=$\frac{19}{20}$．
解答下列问题：
（1）在和式$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…中，第九项是$\frac{1}{9×10}$；第n项是$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）解方程$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+…+$\frac{1}{（x+2001）（x+2002）}$=1-$\frac{2}{2x+4004}$．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到第九项，确定出第n项即可；
（2）方程利用拆项法变形，计算即可求出解．

解答 解：（1）第九项为$\frac{1}{9×10}$；第n项是$\frac{1}{n（n+1）}$；      
（2）方程整理得：$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2001}$-$\frac{1}{x+2002}$=1-$\frac{1}{x+2002}$，
整理得：$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2002}$=1-$\frac{1}{x+2002}$，即$\frac{1}{x+1}$=1，
解得：x=0，
经检验x=0是分式方程的解．
故答案为：（1）$\frac{1}{9×10}$；$\frac{1}{n（n+1）}$

点评 此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．