Question

2．如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．
（1）若BP=10m，求居民楼AB的高度；（精确到0.1，$\sqrt{3}$≈1.732）
（2）若PC=24m，求C、A之间的距离．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABP中根据tan60°=$\frac{AB}{PB}$=$\frac{AB}{10}=\sqrt{3}$，即可得到结论；
（2）过点C作CE⊥BP于点E，在Rt△PCE中，根据cos45°=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PE}{24}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到PE=12$\sqrt{2}$m，于是得到AC=BE=10$\sqrt{3}$+12$\sqrt{2}$m．

解答 解：（1）在Rt△ABP中
∵PB=10m，∠APB=60°，
∴tan60°=$\frac{AB}{PB}$=$\frac{AB}{10}=\sqrt{3}$，
∴AB=10$\sqrt{3}$≈17.3m，
答：居民楼AB的高度约为17.3；

（2）过点C作CE⊥BP于点E，在Rt△PCE中，
∵∠CPE=45°，
∴cos45°=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PE}{24}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PE=12$\sqrt{2}$m，
∴AC=BE=10$\sqrt{3}$+12$\sqrt{2}$m，
答：C、A之间的距离约为（10$\sqrt{3}$+12$\sqrt{2}$）m．

点评 此题主要考查了解直角三角形-仰角、坡角问题的应用，要求学生借助仰角、坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数求解．