Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（a ，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．

（1）求点P（﹣2，3）的“2关联点”P′的坐标；
（2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，6），求出k及点P的坐标；
（3）如图，点Q的坐标为（0，4 ），点A在函数y=﹣ （x＜0）的图象上运动，且点A是点B的“﹣ 关联点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x=﹣2+ =﹣ ，y=2×（﹣2）+3=﹣1，

∴P′（﹣ ，﹣1）；

（2）解：设P（a，b），则P′（a ，ka+b）

∴ ，

∴k=2，

∴2a+b=6．

∵a、b为正整数

∴P′（1，4）、（2，2）；

（3）解：∵B的“﹣ 关联点”是A，

∴A（a﹣ ，﹣ a+b），

∵点A还在反比例函数y=﹣ 的图象上，

∴（﹣ a+b）（a﹣ ）=﹣4 ，

∴（b﹣ a）2=12，

∵b﹣ a＞0，

∴b﹣ a=2 ，

∴b= a+2 ；

∴B在直线y= x+2 上．

过Q作y= x+2 的垂线QB1，垂足为B1，

∵Q（0，4 ），且线段BQ最短，

∴B1即为所求的B点，

由△MB1Q∽△MON 得 ，

∵ON=2，OM=2 ，

∴MN=4．

又∵MQ=2 ，

∴B1Q= ，MB1=3

在Rt△MB1Q中，B1QMB1=MQhB1，

∴hB1= ，

∴xB1= ，

∴B（ ， ）．

【解析】（1）根据新定义求出P′的坐标。
（2）根据新定义，建立方程组，就可以求出k及点P的坐标。
（3）根据题意表示出点A的坐标，再代入反比例函数求得b的值，从而求得点B在一次函数图像上，过Q作y= x+2 的垂线QB1，垂足为B1， 则线段BQ最短，B1即为所求的B点，然后由△MB1Q∽△MON 得对应边成比例，求出MN、B1Q、MB1的长，再利用三角形的面积公式即可求出点B的坐标。
【考点精析】关于本题考查的反比例函数的图象和垂线段最短，需要了解反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用才能得出正确答案．