Question

如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．
（1）若BE=2，AG=4，求AB的长；
（2）若BC=2AB，求∠AED的度数．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠ABE=90°，AD∥BC，求出∠ADE=∠CED，根据直角三角形性质求出∠AEG=∠AGE，推出AE=AG=4，根据勾股定理求出即可；
（2）过G作GH⊥AB于H，求出GH=AB，AE=AG=GF，证Rt△GHF≌Rt△ABE，推出∠AFG=∠AEB，求出∠EFB=∠AEB=3∠CED，得出4∠CED=90°，即可求出答案．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ABE=90°，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵G为DF的中点，
∴AG=DG=EG，
∴∠ADE=∠GAD，
∴∠AGE=∠GAD+∠ADG=2∠ADG，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG=4，
在Rt△ABE中，BE=2，AE=4，由勾股定理得：AB=

42-22

=2

3

；

（2）
过G作GH⊥AB于H，
∵∠DAB=90°，
∴GH∥AD，
∵G为DF中点，
∴AH=HF，
∴GH=

1

2

AD=

1

2

BC，
∵BC=2AB，
∴AB=GH，
∵∠BAD=90°，G为DF中点，
∴AG=GF，
∵AG=AE，
∴AE=GF，
在Rt△GHF和Rt△ABE中

GF=AE GH=AB

∴Rt△GHF≌Rt△ABE（HL），
∴∠AFG=∠AEB，
∵∠AED=2∠CED，∠AFG=∠EFB，
∴∠EFB=∠AEB=3∠CED，
∵∠ABE=90°，
∴4∠CED=90°，
∴∠CED=22.5°，
∴∠AED=2∠CED=45°．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．