Question

【题目】如图，直线AD经过⊙O上的点A，△ABC为⊙O的内接三角形，并且∠CAD＝∠B．

（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠CAD＝30°，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】（1）直线AD与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）

【解析】

（1）作直径AE，连接CE，求出∠OAD＝90°，根据切线的判定得出即可；

（2）求出△OAC是等边三角形，再分别求出△OAC和扇形OCA的面积，即可得出答案．

（1）直线AD与⊙O的位置关系是相切，

理由是：作直径AE，连接CE，

∵AE为直径，

∴∠ACE＝90°，

∴∠E+∠EAC＝90°，

∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠E，

∴∠E＝∠DAC，

∴∠EAC+∠DAC＝90°，

即OA⊥AD，

∵OA过O，

∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；

（2）连接OC，过O作OF⊥AC于F，则∠OFA＝90，

∵∠CAD＝30°，∠DAO＝90°，

∴∠OAC＝60°，

∵OC＝OA＝1，

∴△OAC是等边三角形，

∴AC＝OA＝1，∠AOC＝60°，

∵OA＝OC，OF⊥AC，

∴AF＝FC＝，

由勾股定理得：OF＝，

∴阴影部分的面积为：