【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D,连接BD.
(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题:线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观察思考,小明出一种思路:如图1,过点B作BE⊥BD,交MN于点E,进而得出:DC+AD= BD.
(2)探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系,并证明
(3)拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中,当△ABD面积取得最大值时,若CD长为1,请直接写BD的长.
【答案】(1);(2)AD﹣DC=BD;(3)BD=AD=+1.
【解析】
(1)根据全等三角形的性质求出DC,AD,BD之间的数量关系
(2)过点B作BE⊥BD,交MN于点E.AD交BC于O,
证明,得到,,
根据为等腰直角三角形,得到,
再根据,即可解出答案.
(3)根据A、B、C、D四点共圆,得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时,△ABD的面积最大.
在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证,
由即可得出答案.
解:(1)如图1中,
由题意:,
∴AE=CD,BE=BD,
∴CD+AD=AD+AE=DE,
∵是等腰直角三角形,
∴DE=BD,
∴DC+AD=BD,
故答案为.
(2).
证明:如图,过点B作BE⊥BD,交MN于点E.AD交BC于O.
∵,
∴,
∴.
∵,,,
∴,
∴.又∵,
∴,
∴,,
∴为等腰直角三角形,.
∵,
∴.
(3)如图3中,易知A、B、C、D四点共圆,当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时,△ABD的面积最大.
此时DG⊥AB,DB=DA,在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证,
∴.
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【题目】如图①,点D是等边△ABC的边BC上一点,连接AD,以AD为一边,向右作等边三角形ADE,连接CE,求证:AC=CD+CE.
(类比探究)
(1)如果点D在BC的延长线上,其它条件不变,请在图②的基础上画出满足条件的图形,写出线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由.
(2)如果点D在CB的延长线上,请在图③的基础上画出满足条件的图形,并直接写出AC,CD,CE之间的数量关系,不需要说明理由.数量关系:_______.
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【题目】如图,已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。
(1)求证:△ABE≌△FCE;
(2)连接AC、BF,若AE=BC,求证:四边形ABFC为矩形;
(3)在(2)条件下,当△ABC再满足一个什么条件时,四边形ABFC为正方形。
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【题目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120,AD⊥BC,且AD=AB.
(1)如图1,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,求证:AE+AF=AD
(2)如图2,如果∠EDF=60,且∠EDF两边分别交边AB,AC于点E,F,那么线段AE,AF,AD之间有怎样的数量关系?并给出证明.
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【题目】许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部,上游接纳清泥河来水,下游为鹿鸣湖等水系供水,承担着承上启下的重要作用,是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分.某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A,B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走,走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前走300米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为200米,求A,B两点之间的距离(结果保留一位小数)
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【题目】(1)如图1,等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AB与点E、DF⊥AC与点F.求证:DE= DF;
(2)如图2,等腰三角形ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D是BC边上的动点,DE⊥AB与点E、DF⊥AC与点F.请问DE+DF的值是否随点D位置的变化而变化?若不变,请直接写出DE+DF的值;若变化,请说明理由.
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【题目】如图,点E是正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE、CF.
(1)求证:△ABF≌△CBE;
(2)判断△CEF的形状,并说明理由.
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【题目】某公司实行年工资制,职工的年工资由基础工资、住房补贴和医疗费三项组成,具体规定如下:
项目 | 第一年的工资(万元) | 一年后的计算方法 |
基础工资 | 1 | 每年的增长率相同 |
住房补贴 | 0.04 | 每年增加0.04 |
医疗费 | 0.1384 | 固定不变 |
(1)设基础工资每年增长率为x,用含x的代数式表示第三年的基础工资为 万元;
(2)某人在公司工作了3年,他算了一下这3年拿到的住房补贴和医疗费正好是这3年基础工资总额的18 %,问基础工资每年的增长率是多少?
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