Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：

（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；

（2）若BC=5，sin∠ABC=，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）6

【解析】

（1）根据已知条件得到△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠1=∠3．求得OE∥BF．于是得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到．根据勾股定理得到AC=12．根据矩形的性质即可得到结论．

（1）补全图形如图所示，

∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．
连接OE，
∴OE=OB．
∴∠2=∠3，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴OE∥BF．
∵EF⊥BF，
∴EF⊥OE，
∴EF是△ABC外接圆的切线；
（2）在Rt△ABC中，BC=5，sin∠ABC=，
∴．
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=12．
∵∠ACF=∠CFE=∠FEH=90°，
∴四边形CFEH是矩形．
∴EF=HC，∠EHC=90°．
∴EF=HC=AC=6．