Question

如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD=BC，AC，BD相交于点E，∠DCE=∠DBC．
（1）求∠CBD的度数；
（2）求证：CD=CE；
（3）判断△EAB的面积S_△EAB与△EDC的面积S_△EDC的大小关系．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）证明∠D=∠DCB=45°+α，运用三角形的内角和定理即可解决问题．
（2）证明∠DEC=∠D，即可解决问题．
（3）如图，作辅助线，证明AM=DN，即可解决问题．

解答：解：（1）∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°；
∵BD=BC，且∠DCE=∠DBC（设为α），
∴∠D=∠DCB=45°+α；
由三角形的内角和定理得：
α+2（45°+α）=180°，
∴α=30°，即∠CBD=30°．
（2）∵∠DEC=45°+30°=75°，
∠D=45°+30°=75°，
∴∠DEC=∠D，
∴CD=CE．
（3）如图，分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC；
设BD=BC=λ；
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=CM，AM=

1

2

BC=

1

2

λ；
∵∠DBC=30，
∴DN=

1

2

BD=

1

2

λ，
∴AM=DN，
∴△ABC与△DBC的面积相等，
∴S_△EAB=S_△EDC．

点评：该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．