Question

如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．

解答：解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∴

AN

的度数是80°，
则

BN

的度数是40°，
根据垂径定理得

CN

的度数是40°，
则∠AOC=120°，
∵MN=2
∴OA=OC=1，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴AC=

3

．
故答案为

3

．

点评：此题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置是本题的关键．