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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点D是y轴上的一点,且以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标;
(3)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标及最大面积;

(4)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.

【答案】
(1)

解:∵点A(﹣1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx﹣5上,

∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5


(2)

解:如图1,令x=0,则y=﹣5,

∴C(0,﹣5),

∴OC=OB,

∴∠OBC=∠OCB=45°,

∴AB=6,BC=5

要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有

①当 时,

CD=AB=6,

∴D(0,1),

②当 时,

∴CD=

∴D(0, ),

即:D的坐标为(0,1)或(0,


(3)

解:设H(t,t2﹣4t﹣5),

∵CE∥x轴,

∴点E的纵坐标为﹣5,

∵E在抛物线上,

∴x2﹣4x﹣5=﹣5,∴x=0(舍)或x=4,

∴E(4,﹣5),

∴CE=4,

∵B(5,0),C(0,﹣5),

∴直线BC的解析式为y=x﹣5,

∴F(t,t﹣5),

∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣ 2+

∵CE∥x轴,HF∥y轴,

∴CE⊥HF,

∴S四边形CHEF= CEHF=﹣2(t﹣ 2+

当t= 时,四边形CHEF的面积最大为


(4)

解:如图2,∵K为抛物线的顶点,

∴K(2,﹣9),

∴K关于y轴的对称点K'(﹣2,﹣9),

∵M(4,m)在抛物线上,

∴M(4,﹣5),

∴点M关于x轴的对称点M'(4,5),

∴直线K'M'的解析式为y= x﹣

∴P( ,0),Q(0,﹣ ).


【解析】(1)根据待定系数法直接抛物线解析式;(2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标;(3)先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出最大值;(4)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和相似三角形的性质的相关知识点,需要掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小;对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题.

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