Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图像与y轴交于C点，交x轴于点A（－2，0)，B（6，0）.

⑴ 求该二次函数的表达式；

⑵ P是该函数在第一象限内图像上的动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC、AC.

① 求线段PQ的最大值；

② 若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ACO相似，求P点的坐标.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①PQ的最大值= ，② P点的坐标为：P1（4，2），P2

【解析】分析：(1)把点A，B的坐标代入到二次函数的解析式中求解；(2)过点P作PD⊥x轴于点N交BC于点M，P点坐标为，用t表示出点M，根据二次函数的性质求PM的最大值，再结合三角形相似求PQ的最大值；(3)分两种情况画出图形，根据平行线或相似三角形求解.

详解：⑴∵y＝ax2＋bx＋的图像过点A(－2，0)，B(6，0).

∴解之得：；

∴所求二次函数的表达式为：.

⑵①设P点坐标为：，且0＜t＜6，

令x＝0，则y＝4，∴C(0，2).

设BC的表达式为：

y＝mx＋n(m≠0)过B(6，0)，C(0，)，

，解之得：，∴BC的表达式为：，

过点P作PD⊥x轴于点N交BC于点M，(如图1)

∴点M的横坐标为t，∴它的纵坐标为，

∴M.

PM＝yP－yM＝，

∵x轴⊥y轴，PQ⊥BC，PD⊥x轴.

∴∠AOC＝∠COB＝∠CQP＝∠PQM＝∠MDB＝90°，

又∵AO＝2，OB＝8，CO＝4，

∴，∴△OAC∽△OCB，∴∠ACO＝∠CBO＝∠MPQ，

∴△OAC∽△OCB∽△DMB∽△QMP.

∵，

∴cos∠MPQ＝cos∠ACO＝.

∵cos∠MPQ＝，

∴.

∵a＜0，且t＝3的值在0＜t＜6的范围内，

∴当t＝3时，PQ的最大值＝.

②(ⅰ)当△QPC∽△OAC时，(如图2)

则∠ACO＝∠CBA＝∠PCQ，

∴PC∥x轴，

由抛物线的对称性知：点C与点P关于抛物线的对称轴对称，

∴P点的坐标为(4，).

(ⅱ)当△QCP∽△OAC时，(如图3)

则∠CAO＝∠PCQ，

∴tan∠CAO＝tan∠PCQ，

过点B作BD⊥BC交CP的延长线于点D，

再过点D作DE⊥x轴于点E，

则△OBC∽△EDB，

∴，

∴BE＝CO＝×2＝6，∴OE＝OB＋BE＝12，

DE＝BO＝×6＝6，∴点D的坐标为(12，6).

设直线CD的表达式为y＝ex＋f，且过点C(0，)，D(12，6)，

∴，解得，.

∴直线CD的表达式为：，

∴P坐标是方程组的解，

解之得：(舍)，

∴点P的坐标为().

综上所述：P点的坐标为：P1(4，)，P2().