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【题目】已知抛物线过点两点,与y轴交于点C

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)过点A,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;

(3)P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当面积最大时,求点P的坐标;

(4)若点Q为线段OC上的一动点,问:是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)抛物线的表达式为:,顶点(2)证明见解析;(3)(4)存在,的最小值为

【解析】

(1)设交点式,利用待定系数法进行求解即可;

(2)先证明四边形ADBM为菱形,再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证;

(3)先求出直线BC的解析式,过点Py轴的平行线交BC于点N,设点,则点N,根据可得关于x的二次函数,继而根据二次函数的性质进行求解即可;

(4)存在,如图,过点C作与y轴夹角为的直线CFx轴于点F,过点A,垂足为H,交y轴于点Q 此时,则最小值,求出直线HCAH的解析式即可求得H点坐标,进行求得AH的长即可得答案.

(1)函数的表达式为:

即:,解得:

故抛物线的表达式为:

则顶点

(2)

A(1,0)B(3,0),∴ OB=3OA=1

AB=2

又∵D(2-1)

AD=BD=

AM=MB=AD=BD

∴四边形ADBM为菱形,

又∵

菱形ADBM为正方形;

(3)设直线BC的解析式为y=mx+n

将点BC的坐标代入得:

解得:

所以直线BC的表达式为:y=-x+3

过点Py轴的平行线交BC于点N

设点,则点N

,故有最大值,此时

故点

(4)存在,理由:

如图,过点C作与y轴夹角为的直线CFx轴于点F,过点A,垂足为H,交y轴于点Q

此时

最小值

RtCOF中,∠COF=90°,∠FOC=30°OC=3tanFCO=

OF=

F(-0)

利用待定系数法可求得直线HC的表达式为:①,

∵∠COF=90°,∠FOC=30°

∴∠CFO=90°-30°=60°,

∵∠AHF=90°

∴∠FAH=90°-60°=30°

OQ=AOtanFAQ=

Q(0,)

利用待定系数法可求得直线AH的表达式为:②,

联立①②并解得:

故点,而点

的最小值为

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1)如图1,过点画线段,使,且

2)如图1,在边上画一点,使

3)如图2,过点画线段,使,且

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1AEBF

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1)点的坐标为__________,点的坐标为__________,线段的长为__________,抛物线的解析式为__________.

2)点是线段下方抛物线上的一个动点.

①如果在轴上存在点,使得以点为顶点的四边形是平行四边形.求点的坐标.

②如图2,过点交线段于点,过点作直线于点,交轴于点,记,求关于的函数解析式;当时,试比较的对应函数值的大小.

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【题目】某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数(含驾驶员)进行了随机调查,根据每车乘坐人数分为5类,每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为ABCDE,由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表.

类别

频率

A

m

B

0.35

C

0.20

D

n

E

0.05

(1)求本次调查的小型汽车数量及mn的值;

(2)补全频数分布直方图;

(3)若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆,请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量.

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2)若将一边长为1的正方形按如图21所示剪开,恰好能拼成如图22所示的矩形,则m的值是多少?

3)四边形ABCD是一个长为7,宽为5的矩形(面积为35),若把它按如图31所示的方式剪开,分成四部分,重新拼成如图32所示的图形,得到一个长为9,宽为4的矩形(面积为36).问:重新拼成的图形的面积为什么会增加?请说明理由.

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【题目】网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习的调查.数据如下(单位:时):

3

2.5

0.6

1.5

1

2

2

3.3

2.5

1.8

2.5

2.2

3.5

4

1.5

2.5

3.1

2.8

3.3

2.4

整理上面的数据,得到表格如下:

网上学习时间(时)

人数

2

5

8

5

样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:

统计量

平均数

中位数

众数

数值

2.4

根据以上信息,解答下列问题:

1)上表中的中位数的值为   ,众数的值为   

2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间.

3)已知该校七年级学生有200名,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.

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