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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,直线EF分别交两直角边AB、BC与E、F两点,且EF∥AC,P是斜边AC的中点,连接PE,PF,且AB= ,BC=

(1)当E、F均为两直角边的中点时,求证:四边形EPFB是矩形,并求出此时EF的长;
(2)设EF的长度为x(x>0),当∠EPF=∠A时,用含x的代数式表示EP的长;
(3)设△PEF的面积为S,则当EF为多少时,S有最大值,并求出该最大值.

【答案】
(1)

解:如图1,

∵E是AB的中点,P是AC的中点,

∴EP∥BC,且EP= BC,

∵F是BC的中点,

∴EP∥BF,且EP=BF,

四边形EPFB是平行四边形,

∵∠B=90°,

∴四边形EPFB是矩形


(2)

解:∵AB= ,BC=

∴BE= ,BF=

∴EF= =1.(2)∵EF∥AC,

∴∠APE=∠PEF,∵∠EPF=∠A,

∴△APE∽△PEF.

∵AP=1,EF=x,

∴EP2=x,

∴EP=


(3)

解:如图2,作FH⊥AC交AC于点H,

∵EF∥AC,

∴△BEF∽△BAC,

设EF=x,则BF= x,CF= x,

∴FH= CF= x,

∴S= EFFH=﹣ x2+ x=﹣ (x﹣1)2+

∴当x=1,即EF=1时,S有最大值为


【解析】(1)先求出四边形EPFB是平行四边形,再由∠B=90°得出四边形EPFB是矩形,利用勾股定理求出EF.(2)证明△APE∽△PEF,得出对应边成比例,即可得出结果.(3)作FH⊥AC交AC于点H,设EF=x,得出BF,CF及FH的值,再利用三角形面积求出EF及最大值,利用中位线定理即可求出EP的值.

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种类

频数

百分比

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12

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B.文学类

14

35%

C.艺术类

m

20%

D.其它类

6

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分数

人数

70

7

80

______

90

1

100

8

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