【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,直线EF分别交两直角边AB、BC与E、F两点,且EF∥AC,P是斜边AC的中点,连接PE,PF,且AB= ,BC= .
(1)当E、F均为两直角边的中点时,求证:四边形EPFB是矩形,并求出此时EF的长;
(2)设EF的长度为x(x>0),当∠EPF=∠A时,用含x的代数式表示EP的长;
(3)设△PEF的面积为S,则当EF为多少时,S有最大值,并求出该最大值.
【答案】
(1)
解:如图1,
∵E是AB的中点,P是AC的中点,
∴EP∥BC,且EP= BC,
∵F是BC的中点,
∴EP∥BF,且EP=BF,
四边形EPFB是平行四边形,
∵∠B=90°,
∴四边形EPFB是矩形
(2)
解:∵AB= ,BC= .
∴BE= ,BF= ,
∴EF= =1.(2)∵EF∥AC,
∴∠APE=∠PEF,∵∠EPF=∠A,
∴△APE∽△PEF.
∴ ,
∵AP=1,EF=x,
∴EP2=x,
∴EP=
(3)
解:如图2,作FH⊥AC交AC于点H,
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BAC,
设EF=x,则BF= x,CF= ﹣ x,
∴FH= CF= ﹣ x,
∴S= EFFH=﹣ x2+ x=﹣ (x﹣1)2+ ,
∴当x=1,即EF=1时,S有最大值为 .
【解析】(1)先求出四边形EPFB是平行四边形,再由∠B=90°得出四边形EPFB是矩形,利用勾股定理求出EF.(2)证明△APE∽△PEF,得出对应边成比例,即可得出结果.(3)作FH⊥AC交AC于点H,设EF=x,得出BF,CF及FH的值,再利用三角形面积求出EF及最大值,利用中位线定理即可求出EP的值.
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=2 ,DE=2,则四边形OCED的面积( )
A.2
B.4
C.4
D.8
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【题目】在读书月活动中,某校号召全体师生积极捐书,为了解所捐书籍的种类,图书管理员对部分书籍进行了抽样调查,根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表.请你根据统计图表所提供的信息回答下面问题:
某校师生捐书种类情况统计表
种类 | 频数 | 百分比 |
A.科普类 | 12 | n |
B.文学类 | 14 | 35% |
C.艺术类 | m | 20% |
D.其它类 | 6 | 15% |
(1)统计表中的m= , n=;
(2)补全条形统计图;
(3)本次活动师生共捐书2000本,请估计有多少本科普类图书?
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【题目】某市团委举行以“我的中国梦”为主题的知识竞赛,甲、乙两所学校的参赛人数相等,比赛结束后,发现学生成绩分别为70分,80分,90分,100分,并根据统计数据绘制了如图不完整的统计图表:
乙校成绩统计表 | |
分数分 | 人数人 |
70 | 7 |
80 | ______ |
90 | 1 |
100 | 8 |
乙学校的参赛人数是______人
在图中,“80分”所在扇形的圆心角度数为______;
请你将图补充完整;
求乙校成绩的平均分.
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【题目】如图,平行四边形硬纸片ABCD中,,,,沿着对角线BD将平行四边形剪开成两个三角形,固定不动,将沿射线BD方向以每秒1个单位的速度匀速运动运动后记为连接和.
小明认为在运动过程中,始终有,你同意吗?请说明理由.
保持上述条件不变,当运动______秒时,四边形为菱形.
保持上述条件不变,当运动______秒时,四边形为矩形.
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【题目】如图,,,,都是正三角形,边长分别为2,,,,且BO,,,都在x轴上,点A,,,从左至右依次排列在x轴上方,若点是BO中点,点是中点,,且B为,则点的坐标是
A. B. C. D.
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【题目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连接DF、CF.
(1)如图1,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC= ,求此时线段CF的长(直接写出结果).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l分别交x轴、y轴于A、B两点,AB=5,OA:OB =3:4.
(1)求直线l的表达式;
(2)点P是轴上的点,点Q是第一象限内的点.若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形,请直接写出Q点的坐标.
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