【题目】已知:在中,
,
.
(1)如图1,将线段绕点
逆时针旋转
得到
,连结
、
,
的平分线交
于点
,连结
.
①求证:;②用等式表示线段
、
、
之间的数量关系(直接写出结果);
(2)在图2中,若将线段绕点
顺时针旋转
得到
,连结
、
,
的平分线交
的延长线于点
,连结
.请补全图形,并用等式表示线段
、
、
之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)①见解析;② 2CE+ AE=BD,(+ 2 )AE+EC=BD 或BD=
(AE+CE ),答案不唯一;(2)见解析,2CE-AE=BD,答案不唯一,见解析.
【解析】
(1)①首先证明△ABE≌△ACE,由旋转的性质,全等的性质和等腰直角三角形的性质求得,然后由三角形外角的性质可求出
,问题得证;
②在ED上截取EH=AE,易得△AEH为等边三角形,然后证明△AEB≌△AHD,通过线段间的等量代换即可得到2CE+ AE=BD;
(2)首先根据题意补全图形,以A为顶点,AE为一边作∠EAF=60°,AF交DB延长线于点F,证明△AEF是等边三角形,△CAE≌△DAF(SAS)和△BAE≌△CAE(SAS),然后根据线段和差进行等量代换得到结果.
解:(1)①证明:∵,
,
平分
,
∴,
.
又∵ AE=AE,
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴.
由旋转可得△ACD是等边三角形.
∴,
.
∴,
.
∴.
∴.
∵,
.
∴.
∴.
.
②线段、
、
之间的数量关系是:2CE+ AE=BD.答案不唯一,如(
+ 2 )AE+EC=BD或BD=
(AE+CE )
如图3,在ED上截取EH=AE,
∵,
∴△AEH为等边三角形,
∴AE=AH,∠AEH=∠AHE=60°,
∴∠AEB=∠AHD=120°,
又∵,
∴△AEB≌△AHD,
∴BE=DH,
∵BD=BE+EH+DH,BE=CE,AE=EH,
∴BD=CE+AE+CE,
即2CE+ AE=BD.
(2)补全图形如图2,
线段、
、
之间的数量关系是:2CE -AE=BD.(答案不唯一)
证明:如图2,以A为顶点,AE为一边作∠EAF=60°,AF交DB延长线于点F.
∵,
,
平分
,
∴.
由旋转可得△ACD是等边三角形.
∴,
.
∴,
.
∴.
∴.
∴.
又∵∠EAF=60°,
∴.
∴△AEF是等边三角形.
∴AE=AF=EF.
在△CAE和△DAF中,
∵,
,AE=AF,
∴△CAE≌△DAF(SAS).
∴CE=DF.
∵,
,AE=AE,
∴△BAE≌△CAE(SAS).
∴BE=CE.
∵DF+BE-EF=BD,
∴2CE-AE=BD.
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【题目】如图,已知A,B是反比例函数y=(k>0,x>0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C,动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C,过P作PM⊥x轴,垂足为M.设三角形OMP的面积为S,P点运动时间为r,则S关于t的函数图象大致为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠B=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,交AC于点D,其中DE∥OC
(1)求证:AC为⊙O的切线;
(2)若AD=,且AB、AE的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个实数根,求⊙O的半径、CD的长.
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【题目】如图,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,点F是AB上的一个动点(F不与A,B重合),过点F的反比例函数y= 的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时,求该函数的解析式;
(2)当k为何值时,△EFA的面积最大,最大面积是多少?
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【题目】下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.
已知:△ABC.
求作:BC边上的高线.
作法:如图,
①分别以A,B为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点D,E;
②作直线DE,与AB交于点F,以点F为圆心,FA长为半径画圆,交CB的延长线于点G;
③连接AG.
所以线段AG就是所求作的BC边上的高线.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面证明.
证明:连接DA,DB,EA,EB,
∵DA=DB,
∴点D在线段AB的垂直平分线上( )(填推理的依据).
∵ = ,
∴点E在线段AB的垂直平分线上.
∴DE是线段AB的垂直平分线.
∴FA=FB.
∴AB是⊙F的直径.
∴∠AGB=90°( )(填推理的依据).
∴AG⊥BC
即AG就是BC边上的高线.
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【题目】如图,已知点A、B分别在反比例函数(x>0),
(k<0,x>0)的图象上.点B的横坐标为4,且点B在直线y=x﹣5上.
(1)求k的值;(2)若OA⊥OB,求tan∠ABO的值.
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【题目】如图,在边长4的正方形ABCD中,E是边BC的中点,将△CDE沿直线DE折叠后,点C落在点F处,冉将其打开、展平,得折痕DE。连接CF、BF、EF,延长BF交AD于点G。则下列结论:①BG= DE;②CF⊥BG;③sin∠DFG= ;④S△DFG=
.其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线y=x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使|PA﹣PB|取得最大值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)已知F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,求定点F的坐标.
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【题目】如图,正方形ABCD的对称中心在坐标原点,AB∥x轴,AD,BC分别与x轴交于E,F,连接BE,DF,若正方形ABCD的顶点B,D在双曲线y=上,实数a满足a1﹣a=1,则四边形DEBF的面积是( )
A. B.
C. 1D. 2
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