Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.

(1)求证：∠BAC=2∠DAC；

(2)若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) tan∠BAD=.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到=，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°∠BAC）＝90°∠BAC，∠ADB＝90°∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；

（2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角形求得tan∠BAD的值．

解：（1）∵AB＝AC，

∴=，∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°∠BAC）＝90°∠BAC，

∵BD⊥AC，

∴∠ADB＝90°∠DAC，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴∠BAC＝2∠DAC；

(2)∵DF=DC，

∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=∠FBC,

∴CB=CF,

又BD⊥AC，

∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10.

又BC＝4，

设AE＝x, CE=10－x,

AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6

∴AE=6,BE=8,CE=4,

∴DE===3,

∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，

作DH⊥AB，垂足为H，

∵ABDH＝BDAE，

∴DH＝，

∴BH＝，

∴AH＝ABBH＝10，

∴tan∠BAD===.