Question

四边形ABCD是正方形，BE∥CG，∠AEB=60°，BC=CH=2

3

．
（1）求DF的长；
（2）求证：BE=DG+CF．

Answer 1

考点：正方形的性质,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质及平行四边形的判定定理求出∠BCH的度数，进而求出∠CBF的度数，借助直角三角形的边角关系即可解决问题．
（2）根据全等三角形的判定及其性质证明DG=CF=AE；证明BE=2AE，问题即可解决．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴EG∥BC；
又∵BE∥CG，
∴四边形BCGE为平行四边形
∴∠BCG=∠BEG；而∠AEB=60°，
∴∠BEG=180°-60°=120°，
故∠BCH=120°；
又∵BC=HC，
故∠CBH=∠CHB
=

180°-120°

2

=30°；
∵tan30°=

FC

BC

，
∴FC=

3

3

BC=

3

3

×2

3

=2；
∴DF=DC-FC=2

3

-2；

（2）∵∠DCG=120°-90°=30°，∠CBH=30°，
∴∠DCG=∠CBH；
在Rt△DCG与Rt△CBF中，
∵

∠DCG=∠CBF CD=BC ∠CDG=BCF

∴△CDG≌△CBF（ASA），
∴DG=CF；
同理可证：AE=CF，故DG+CF=2AE；
在直角△ABE中，∵∠ABE=90°-60°=30°，
∴BE=2AE，
∴BE=DG+CF．

点评：本题考查了正方形、平行四边形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来解题；对综合运用能力提出了较高的要求．