Question

已知，矩形ABCD，AB=4，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD，交AD于E、F，BE、CF相交于G点，EG=

2

2

，BC的长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：根据矩形的性质得出∠A=∠D=∠ABC=∠DCB=90°，AD∥BC，求出AE=AB=4，根据勾股定理求出EF，求出BE，求出BG，证相似得出比例式，代入求出即可．

解答：
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠ABC=∠DCB=90°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB，
∵BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD，
∴∠ABE=∠EBC=45°，∠DCF=∠FCB=45°，
∴∠AEB=∠DFC=45°，
∴∠AEB=∠ABE，∠DFC=∠DCF，∠FGE=90°，
∴AE=AB=4，
∵EG=

2

2

=FG，
∴由勾股定理得：EF=

( 2 2 )2+( 2 2 )2

=1，BE=

AB2+AE2

=

42+42

=4

2

，
∴BG=4

2

-

2

2

=

7 2

2

，
∵AD∥BC，
∴△FGE∽△CGB，
∴

EF

BC

=

EG

BG

，
∴

1

BC

=

2 2

7 2 2

，
∴BC=7．
故答案为：7．

点评：本题考查了勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出EF、BG的长和根据相似得出比例式，题目比较好，难度适中．