Question

在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，如图1，旋转三角尺，若三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，
（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若将三角尺绕点M继续旋转，其直角边与Rt△POQ的直角边的延长线交于点A、B，求证：S_△MAB=S_△AOB+

1

2

S_△POQ．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME=MF，再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，设OA=x，表示出AE为2-x，即BF的长度，然后表示出OB=2+（2-x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

倍表示出AB的长度，然后根据三角形的周长公式列式判断出△AOB的周长随AB的变化而变化，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的x的值，然后解答即可．
（3）通过ASA易证得△OMA≌△QMB，得出S_△AOM=S_△QBM，然后根据割补法易求得S_△MAB=S_△AOB+

1

2

S_△POQ．

解答：（1）证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，
∵∠O=90°，∠MEO=90°，∠OFM=90°
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=

1

2

OQ=2，MF=

1

2

OP=2，
∴ME=MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，

∠AME=∠BMF ME=MF ∠AEM=∠BFM=90°

，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；

（2）解：有最小值，最小值为4+2

2

．
理由如下：根据（1）△AME≌△BMF，
∴AE=BF，
设OA=x，则AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM=

AE2+ME2

=

(2-x)2+22

，
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=

2

AM=

2

•

(2-x)2+22

=

2(2-x)2+8

，
△AOB的周长=OA+OB+AB=x+（4-x）+

2(2-x)2+8

=4+

2(2-x)2+8

，
所以，当x=2，即点A为OP的中点时，△AOB的周长有最小值，最小值为4+

8

，
即4+2

2

．

（3）解：连接OM，
∵M是PQ的中点，OP=OQ，∠O=90°，
∴OM=MQ，OM⊥MQ，
∵∠OMA+∠AMQ=90°，
∠BMQ+∠AMQ=90°，
∴∠OMA=∠BMQ，
∵△OMQ为等腰直角三角形，
∴∠MOQ=∠MQO=45°，
∴∠MOA=∠MQB=135°，
在△OMA和△QMB中，

∠OMA=∠BMQ OM=MQ ∠MOA=∠MQB

，
∴△OMA≌△QMB（ASA）．
∴S_△AOM=S_△QBM．
∵S_△AOB=S_△AON+S_△ABN=（S_△AOM-S_△MON）+S_△ABN=（S_△QBM-S_△MON）+S_△ABN．

1

2

S_△POQ=S_△MOQ=S_△MON+S_△MQN．
∴S_△AOB+

1

2

S_△POQ=（S_△QBM-S_△MON）+S_△ABN+S_△MON+S_△MQN=S_△QBM+S_△ABN+S_△MQN=S_△MAB．
∴S_△MAB=S_△AOB+

1

2

S_△POQ．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角的性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，以及二次函数的最值问题，作出辅助线，把动点问题转化为固定的三角形，构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．