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【题目】综合与实践

如图,点是正方形的边上一点,点在线段上,将线段绕点顺时针旋转90°得到线段,连接,过点的垂线,垂足为点,交射线于点

探究发现

1)如图1,若点是线段的中点,直接写出线段的数量关系为______

2)如图2,若点不是线段的中点,线段的数量关系为______,填写出证明过程;

3)当时,连接,则________

【答案】1;(2;过程见解析;(3915

【解析】

(1)ASA证明△PEQ≌△EGD,得出PQ=ED,即可得出结论;
(2)ASA证明△PEQ≌△EGD,得出PQ=ED,即可得出结论;
(3)①当点P在线段BC上时,点Q在线段BC上,由(2)可知:BP=EC-QC,求出DE=2EC=4,即可得出答案;
②分类讨论,当点Q在线段BC上和点Q在线段BC的延长线上,分别由全等三角形的性质得出BP,即可得出答案.

(1)BP+QC=EC

理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
BC=CD,∠BCD=90°,
由旋转的性质得:∠PEG=90°,EG=EP
∴∠PEQ+GEH=90°,
QHGD
∴∠H=90°,∠G+GEH=90°,
∴∠PEQ=G
又∵∠EPQ+PEC=90°,∠PEC+GED=90°,
∴∠EPQ=GED
在△PEQ和△EGD中,


∴△PEQ≌△EGD(ASA)
PQ=ED
BP+QC=BC-PQ=CD-ED=EC
BP+QC=EC
故答案为:BP+QC=EC
(2) BP+QC=EC

理由如下:
由题意得:∠PEG=90°,EG=EP
∴∠PEQ+GEH=90°,
QHGD
∴∠H=90°,∠G+GEH=90°,
∴∠PEQ=G
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCB=90°,BC=DC
∴∠EPQ+PEC=90°,
∵∠PEC+GED=90°,
∴∠GED=EPQ
在△PEQ和△EGD中,


∴△PEQ≌△EGD(ASA)
PQ=ED
BP+QC=BC-PQ=CD-ED=EC
BP+QC=EC
(3)分两种情况:
①当点P在线段BC上时,点Q在线段BC上,


(2)可知:BP=EC-QC
AB=3DE=6
DE=2EC=4
BP=4-1=3

②当点P在线段BC上时,点Q在线段BC的延长线上,如图所示:


由题意得:∠PEG=90°,EG=EP
∴∠PEQ+GEH=90°,
QHGD
∴∠GHE=90°,∠G+GEH=90°,
∴∠PEQ=G
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCB=90°,BC=DC
∴∠EPQ+PEC=90°,
∵∠PEC+GED=90°,
∴∠GED=EPQ
在△PEQ和△EGD中,


∴△PEQ≌△EGD(ASA)

PQ=DE=2
QC=1
PC=PQ-QC=1
BP=BC-PC=6-1=5


综上所述,

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