【题目】综合与实践
如图,点是正方形的边上一点,点在线段上,将线段绕点顺时针旋转90°得到线段,连接,过点作的垂线,垂足为点,交射线于点.
探究发现
(1)如图1,若点是线段的中点,直接写出线段的数量关系为______;
(2)如图2,若点不是线段的中点,线段的数量关系为______,填写出证明过程;
(3)当,时,连接,则________.
【答案】(1);(2);过程见解析;(3)9或15.
【解析】
(1)由ASA证明△PEQ≌△EGD,得出PQ=ED,即可得出结论;
(2)由ASA证明△PEQ≌△EGD,得出PQ=ED,即可得出结论;
(3)①当点P在线段BC上时,点Q在线段BC上,由(2)可知:BP=EC-QC,求出DE=2,EC=4,即可得出答案;
②分类讨论,当点Q在线段BC上和点Q在线段BC的延长线上,分别由全等三角形的性质得出BP,即可得出答案.
(1)BP+QC=EC;
理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
由旋转的性质得:∠PEG=90°,EG=EP,
∴∠PEQ+∠GEH=90°,
∵QH⊥GD,
∴∠H=90°,∠G+∠GEH=90°,
∴∠PEQ=∠G,
又∵∠EPQ+∠PEC=90°,∠PEC+∠GED=90°,
∴∠EPQ=∠GED,
在△PEQ和△EGD中,
,
∴△PEQ≌△EGD(ASA),
∴PQ=ED,
∴BP+QC=BC-PQ=CD-ED=EC,
即BP+QC=EC;
故答案为:BP+QC=EC;
(2) BP+QC=EC,
理由如下:
由题意得:∠PEG=90°,EG=EP,
∴∠PEQ+∠GEH=90°,
∵QH⊥GD,
∴∠H=90°,∠G+∠GEH=90°,
∴∠PEQ=∠G,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCB=90°,BC=DC,
∴∠EPQ+∠PEC=90°,
∵∠PEC+∠GED=90°,
∴∠GED=∠EPQ,
在△PEQ和△EGD中,
,
∴△PEQ≌△EGD(ASA),
∴PQ=ED,
∴BP+QC=BC-PQ=CD-ED=EC,
即BP+QC=EC;
(3)分两种情况:
①当点P在线段BC上时,点Q在线段BC上,
由(2)可知:BP=EC-QC,
∵AB=3DE=6,
∴DE=2,EC=4,
∴BP=4-1=3,
∴;
②当点P在线段BC上时,点Q在线段BC的延长线上,如图所示:
由题意得:∠PEG=90°,EG=EP,
∴∠PEQ+∠GEH=90°,
∵QH⊥GD,
∴∠GHE=90°,∠G+∠GEH=90°,
∴∠PEQ=∠G,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCB=90°,BC=DC,
∴∠EPQ+∠PEC=90°,
∵∠PEC+∠GED=90°,
∴∠GED=∠EPQ,
在△PEQ和△EGD中,
,
∴△PEQ≌△EGD(ASA),
∴PQ=DE=2,
∵QC=1,
∴PC=PQ-QC=1,
∴BP=BC-PC=6-1=5,
∴;
综上所述,或.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+4的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(2,0)和点C,抛物线与x轴交于点A和点E(点A在点E的左侧),连接AC,将△ABC沿AC折叠,得到点B的对应点为点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)求点D坐标,并判定点D是否在该二次函数的图象上;
(3)①在线段AC上找一点F,使得△OBF的周长最小,直接写出此时点F的坐标.②在①的基础上,过点F的一条直线与抛物线对称轴右侧部分交于点N,交线段AD于点M,连接NA、ND,使△AMF与△AMN的面积比为4:1,请直接写出△AND的面积.
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【题目】目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们带来了很多便利,初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行了调查,随机调查了人(每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)根据图中信息求出=___________,=_____________;
(2)请你帮助他们将这两个统计图补全;
(3)根据抽样调查的结果,请估算全校2000名学生种,大约有多少人最认可“微信”这一新生事物?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以OB为直径画圆M,过D作⊙M的切线,切点为N,分别交AC、BC于点E、F,已知AE=5,CE=3,则DF的长是( )
A. 3B. 4C. 4.8D. 5
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B.点C的坐标是(﹣1,0),抛物线y=ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D.点P为x轴上一点,过点P作x轴的垂线交直线AB于点M,交抛物线于点Q,连结DQ,设点P的横坐标为m(m≠0).
(1)求点A的坐标.
(2)求抛物线的表达式.
(3)当以B、D、Q,M为顶点的四边形是平行四边形时,求m的值.
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【题目】如图,边长为2的正方形ABCD,点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A﹣D﹣C的路径向点C运动,同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B﹣C﹣D﹣A的路径向点A运动,当Q到达终点时,P停止移动,设△PQC的面积为S,运动时间为t秒,则能大致反映S与t的函数关系的图象是( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,在四边形中,,.已知A(-2,0)、B(6,0)、D(0,3)反比例函数的图象经过点.
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式;
(2)将四边形沿轴向上平移个单位长度得到四边形,问点是否落在(1)中的反比例函数的图象上?
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