Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E，

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若EA=BO=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为．

【解析】分析：（1）由于D是圆上一点，说明CD为⊙O的切线需证明OD⊥CE．可通过证明△CDO≌△CBO实现；
（2）由于阴影部分的面积=S扇形BOD-S△BOD，圆心角∠DOB的度数可通过外角及Rt△ODE中边间关系得到．

详解：

（1）如图所示：连接OD、OC，

∵点D在圆上，B为切点，

∴OD=OB，OB⊥BC

在△COD和△COB中，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

又∵OD=OB

∴CD为⊙O的切线；

（2）∵EA=BO=2，OA=OD=OB，∠ODC=∠EDO=90°，

在Rt△EDO中，∵OE=2OB=2OD

∴∠E=30°，

∴∠DOB=∠EDO+∠E=120°．

∴S扇形BOD=，

∵S△BOD=×OD2×sin60°=，

∴S阴影=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣．

答：阴影部分的面积为﹣．