Question

如图1，已知⊙P与⊙Q相交于A、D两点，过D的直线与⊙P相交于点B，与⊙Q相交于点C，过A的直线与⊙P相交于点F，与⊙Q相交于点E．

（1）求证：CE∥BF；
（2）若∠ADB是锐角，且四边形APDQ的面积是△ABC的面积的

3

4

（如图2），求sin∠ADB的值．

Answer 1

考点：相交两圆的性质

专题：

分析：（1）作公共弦，利用圆周角定理的推论即可解决问题；
（2）作直径，构造相似三角形，充分利用相似三角形的性质即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，连接AD；
则∠CDA=∠AFB，而∠CDA=∠CEA，
∴∠CEA=∠AFB，
∴CE∥BF．

（2）如图2，延长AQ、AP，分别交⊙Q，⊙P于点M、N；连接MD、ND、MC；
则∠ADM=∠ADN=90°，
∴∠ADM+∠ADN=180°，M、D、N三点共线；
∵Q为AM的中点，P为AN的中点，
∴S_△ADM=2S_△ADQ，S_△ADN=2S_△ADP，
∴S_△AMN=2S_{四边形APDQ}；
又∵S四边形APDQ=

3

4

S△ABC，
∴S△ABC=

4

3

S四边形APDQ，
∴

S△AMN

S△ABC

=

3

2

；
∵∠AMD=∠ACD，∠N=∠B，
∴△AMN∽△ACB，

S△AMN

S△ACB

=(

AM

AC

)2，
∴

AM

AC

=

6

2

；
又∵AM为⊙Q的直径，∠ACM=90°，
∴sin∠AMC=

AC

AM

=

2

6

=

6

3

；
又∵∠ADB=∠AMC，
∴sin∠ADB=sin∠AMC=

6

3

．

点评：该题主要考查了圆周角定理的推论、相似三角形的判定及其性质的应用等几何问题；解题的关键是通过作辅助线来构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题；对综合解决问题的能力提出了较高的要求．