Question

【题目】小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形．

（1）请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形．

（2）小宇又发现：如图②时，菱形ABCD的周长最小，等于　 　；

（3）如图③时菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）8；（3）17

【解析】

（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形；

（2）根据垂线段最短，当两纸条垂直放置时，菱形的周长最小，边长等于纸条的宽度；

（3）当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，周长最大，作出图形，设边长为x，表示出CE＝8﹣x，再利用勾股定理列式计算求出x，然后根据菱形的四条边都相等列式进行计算即可得解．

（1）证明：如图①，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

∵两条纸条宽度相同（对边平行），

∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵SABCD＝BCAE＝CDAF，

又∵AE＝AF，

∴BC＝CD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）如图②，当两纸条互相垂直时，菱形的周长最小，此时菱形的边长等于纸条的宽，为2，

所以，菱形的周长＝4×2＝8．

故答案是：8；

（3）如图③，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大，

设AB＝BC＝x，则CE＝8﹣x，

在Rt△DCE中，DC2＝DE2+CE2，

即x2＝（8﹣x）2+22，

解得x＝，

所以，菱形的周长＝4×＝17．