Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．

（1）求证：OF∥BC；

（2）求证：△AFO≌△CEB；

（3）若EB=5cm，CD=cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）x=5；

【解析】

（1）已知AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得 ∠ACB=90°，再由OF⊥AC，即可证得OF∥BC；（2）由两直线平行，同位角相等可得∠AOF=∠B，再由∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，利用ASA即可证明△AFO≌△CEB；（3）连接OD，利用阴影部分面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解.

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OF⊥AC，

∴OF∥BC；

（2）∵OF∥BC，

∴∠AOF=∠B，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，

∴∠BEC=90°，

∵OF⊥AC，

∴∠AFO=∠BEC=90°，

∵在△AFO和△CEB中

∠AFO=∠CEB，OF=BE，∠AOF=∠B，

∴△AFO≌△CEB（ASA）；

（3）连接OD，

由垂径定理得：CE=DE=5cm，

∵EB=5cm，

∴∠ABC=60°，因为OB=OC，

则△OBC是等边三角形，

∴∠BOC=60°，

则弧CD所对的圆心角是120°，

在Rt△OCE中，由勾股定理得： ，x=5（cm），

则扇形COD的面积为 .

∵OE=5cm，∴△COD的面积为 ；

∴阴影部分面积为： .