Question

【题目】如图1，抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）动点D在线段BC下方的抛物线上．

①连接AC、BC，过点D作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点F．过点F作FG⊥AC，垂足为G．设点D的横坐标为t，线段FG的长为d，用含t的代数式表示d；

②过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接CD．是否存在点D，使得△CDH中的一个角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出点D的横坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）①d=t；②存在；D的横坐标为或1

【解析】

（1）根据题意可求点A（-1，0），点B（m，0），根据OB=3OA，可求m的值，即可求解析式；

（2）①先求出直线BC解析式，即可得F点坐标，利用S△AFC=S△ABC-S△ABF．可得用含t的代数式表示d；

②分∠CDH=2∠ABC或∠DCH=2∠ABC两种情况讨论，利用锐角三角函数，相似三角形的性质可求点D的横坐标．

（1）令y=0，则0=x2﹣（m﹣1）x﹣m，

∴x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，

∴（x﹣m）（x+1）=0，

∴x1=m，x2=﹣1，

∵m＞0，点A在点B的左侧，

∴点A（﹣1，0），点B（m，0），

∴OA=1，OB=m，

∵OB=3OA，

∴m=3，

∴抛物线y=x2﹣x﹣2，

（2）①如图1：连接AF，

∵抛物线y=x2﹣x﹣2与y轴交与点C，

∴点C（0，﹣2），

∵点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（0，﹣2），

∴AB=4，OC=2，AC=

∵设直线BC解析式y=kx+b.

∴

解得：b=﹣2，b=

∴直线BC解析式y=x﹣2，

∵D点横坐标为t，DF⊥AB，

∴点F的横坐标为t，

∴F（t，t﹣2），

∵S△AFC=S△ABC﹣S△ABF．

∴

∴

∴d=

②若∠DCH=2∠ABC，如图2：过点C作CF∥AB，交抛物线于F点，作DE⊥CF于点E．

∵AB∥CF，

∴∠ABC=∠BCF，

又∵∠DCH=2∠BCF，

∴∠DCF=∠ABC=∠BCF，

∵点D坐标为（t，t2﹣t﹣2），

∴CE=t，DE=﹣2﹣（t2﹣t﹣2）=t﹣t2．

∵tan∠DCF=tan∠ABC=

∴

∴t1=0（不合题意舍去），t2=1，

即点D的横坐标为1．

若∠CDH=2∠ABC，如图3：作∠ECB=∠ABC，过点B作BP∥HD，交CD的延长线于点P，作PF⊥AB于F．

∵∠ECB=∠ABC，

∴EC=BE，∠AEC=2∠ABC，

在Rt△OEC中，CE2=OE2+OC2．

∴CE2=（3﹣CE）2+4，

∴CE=

∴OE=OB﹣BE=

∴tan∠AEC=tan2∠ABC=

∵点B（3，0），点C（0，﹣2），

∴BC=

∵BP∥HD，HD⊥BC，

∴BP⊥BC，∠CDH=∠CPB=2∠ABC，

∴tan∠CPB=tan2∠ABC=

∴BP=

∵∠ABC+∠PBF=90°，∠ABC+∠OCB=90°，

∴∠OCB=∠PBF，且∠BOC=∠PFB=90°，

∴△BOC∽△PFB，

∴

∴PF=，BF=

∴OF=3+=

∴点P坐标（，﹣），

∵点C（0，﹣2），点P（，﹣），

∴直线PC解析式y=x﹣2，

∵直线CP与抛物线交于C，D两点，

∴

解得：x1=0，x2=

∴点D的横坐标为

综上所述：点D的横坐标为或1，